Gym 101194H / UVALive 7904 - Great Cells - [数学题+快速幂][2016 EC-Final Problem H]

题目链接：

http://codeforces.com/gym/101194/attachments

https://icpcarchive.ecs.baylor.edu/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=5926

题意：

给出 $N$ 行 $M$ 列的网格，每个格子内可以填入 $[1,K]$ 内的任意整数。

如果某个格子，它是它所在行上严格最大的，同时也是所在列上严格最大的，则认为这个格子是好格子。

对于一个非负整数 $g$，可以有 $A_g$ 种填法使得网格内好格子数目正好为 $g$。

现在要求 $\sum_{g=0}^{NM}(g+1) A_g$，输出答案模 $1e9+7$ 后的结果。

题解：

首先，一个 $N \times M$ 的网格最多有 $\min(N,M)$ 个好格子，不可能更多了，因此 $\sum_{g=0}^{NM}(g+1) A_g = \sum_{g=0}^{\min(N,M)}(g+1) A_g$。

又 $\sum_{g=0}^{\min(N,M)}(g+1) A_g = \sum_{g=0}^{\min(N,M)}g\cdot A_g + \sum_{g=0}^{\min(N,M)} A_g$，

显然，$\sum_{g=0}^{\min(N,M)} A_g$ 即 $[1,K]$ 内的数无限制任意填入网格的所有填法数目 $K^{NM}$。

那么剩下来就是求 $\sum_{g=0}^{\min(N,M)}g\cdot A_g$：

单独考虑 $g \cdot A_g$ 的意义，现在我每一种能产生 $g$ 个好格子的方案，都要乘上一个 $g$。相当于对这 $g$ 个格子里的每个格子都累计上一个方案数 $A_g$。

那么换言之，$\sum_{g=0}^{\min(N,M)} A_g$ 就相当于，对每个格子让其成为好格子的方案数的累加。

而某一个格子，可以使得它成为好格子的填法有 $\sum_{i=2}^{K}(i-1)^{n-1+m-1}\cdot K^{(N-1)(M-1)}$ 种，

总共 $N \times M$ 个好格子，因此 $\sum_{g=0}^{\min(N,M)}g\cdot A_g = NM \sum_{i=2}^{K}(i-1)^{n-1+m-1}\cdot K^{(N-1)(M-1)}$。

综上，答案为 $\sum_{g=0}^{NM}(g+1) A_g = K^{NM} + NM \sum_{i=2}^{K}(i-1)^{n-1+m-1}\cdot K^{(N-1)(M-1)}$。

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+;
int n,m,k;
ll fpow(ll a,ll n)
{
    ll res=,base=a%mod;
    while(n)
    {
        if(n&) res*=base, res%=mod;
        base*=base, base%=mod;
        n>>=;
    }
    return res%mod;
}
int main()
{
    int T;
    cin>>T;
    for(int kase=;kase<=T;kase++)
    {
        cin>>n>>m>>k;
        ll ans=;
        for(int i=;i<=k;i++)
        {
            ans+=fpow(i-,n+m-)*fpow(k,(n-)*(m-))%mod;
            ans%=mod;
        }
        ans*=(n*m)%mod, ans%=mod;
        ans+=fpow(k,n*m), ans%=mod;
        printf("Case #%d: %lld\n",kase,ans);
    }
}