41.把数组排成最小的数[Sort array to smallest value]
【题目】
输入一个正整数数组,将它们连接起来排成一个数,输出能排出的所有数字中最小的一个。例如输入数组{3,32, 321},则输出这两个能排成的最小数字321323。请给出解决问题的算法,并证明该算法。
【思路】
先将整数数组转为字符串数组,然后字符串数组进行排序,最后依次输出字符串数组即可。这里注意的是字符串的比较函数需要重新定义,不是比较a和b,而是比较ab与 ba。如果ab < ba,则a < b;如果ab > ba,则a > b;如果ab = ba,则a = b。比较函数的定义是本解决方案的关键。
结论:如果a < b,那么a排在b前面,否则b排在a前面,这样组成的数字是最小的。
【证明】
如何证明?
证明比较两个数字大小规则是有效的。
证明根据这种规则组合的数字是最小的。
【证明1】
1.证明比较两个数字大小规则是有效的。
一个有效的比较需要三个条件:
(1)自反性,即a等于a;
(2)对称性,即如果a大于b,则b小于a;
(3)传递性,即如果a小于b,b小于c,则a小于c。
现在分别予以证明。
(1)自反性。显然有aa=aa,所以a等于a。
(2)对称性。如果a小于b,则ab<ba,所以ba>ab。因此b大于a。
(3)传递性。 如果a小于b,则ab<ba;如果b小于c,则bc<cb。
举个例子a=1,b=23,c=345。
设a、b、c用十进制表示的时候分别为x位、y位、z位。则ab= a×10y+b,ba=b×10x+a;
则由ab<ba推出a×10y+b< b×10x+a,即a/(10x-1)<b/(10y -1)【结果1】。
同理由bc<cb推出b×10z+c< c×10y+b,即b/(10y-1)<c/(10z -1)【结果2】。
由【结果1】和【结果2】得到a/(10x-1)< c/(10z -1)【结果3】。由【结果3】得到ac<ca,即a小于c。
【证明2】
2.证明根据这种规则组合的数字是最小的。
我们把n个数按照前面的排序规则排好顺序之后,表示为F(n)=A1A2A3…An,则F(n)一定是最小的。
反证法证明:
假设这样排出来的两个数并不是最小的。即至少存在两个x和y(1<=x<y<=n),交换第x个数和地y个数后,使得A1A2…Ay…Ax…An<A1A2…Ax…Ay…An【原结论】。
设F(n)= A1A2…Ax…Ay…An。
因为Ay-1Ay<AyAy-1,则F(n)= A1A2…Ax…Ay…An< A1A2…AxAx+1…AyAy-1…An。同理不断将Ay左移,得到F(n)< A1A2…AyAxAx+1…Ay-2Ay-1…An。
因为AxAx+1<Ax+1Ax,则F(n)< A1A2…AyAx+1AxAx+2…Ay-2Ay-1…An。同理不断将Ax右移,得到F(n)< A1A2…AyAx+1Ax+2…Ay-2Ay-1Ax…An。
即F(n)=A1A2…Ax…Ay…An<A1A2…Ay…Ax…An【新结论】。
【新结论】与【原结论】相矛盾,所以假设不成立,原结论正确,即把n个数按照前面的排序规则排好顺序之后,表示为F(n)=A1A2A3…An,则F(n)一定是最小的。
【代码】
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 |
#include <iostream> // cin cout
#include <string> // string #include <sstream> // stringstream #include <algorithm> // sort using namespace std; bool compare(const string &str1, const string &str2) void SortArrayToMinValue(int *data, int length) // print string array // free memory void test_case() }; int _tmain(int argc, _TCHAR *argv[]) |
【参考】
http://zhedahht.blog.163.com/blog/static/25411174200952174133707/
http://www.cnblogs.com/youxin/p/3294154.html
http://blog.csdn.net/wuzhekai1985/article/details/6704902
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