bzoj4002 [JLOI2015]有意义的字符串 特征根+矩阵快速幂

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https://lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4002

题解

神仙题。

根据下面的一个提示：

\[b^2 \leq d \leq (b+1)^2
\]

也就是说 \(-1 < b - \sqrt d \leq 0\)。

那么如果我们构造出一个数列 \(f\)，其通项公式为

\[f_n = (\frac{b + \sqrt d}{2})^n + (\frac{b - \sqrt d}{2})^n
\]

因为后面的 \((\frac{b - \sqrt d}{2})^n\) 的绝对值 \(< 1\)，（在 \(2 | n\) 且 \(b \neq \sqrt d\) 的时候 \(> 0\)，否则 \(<0\)）。所以我们只要能求出这个东西，就可以非常快速地求出原题的要求的式子了。

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发现这个东西非常像由特征根构造的通项公式。于是我们设 \(f_n = a \cdot f_{n-1} + c \cdot f_{n-2}\)。

\[x^2=ax+c\\x^2-ax-c=0\\x = \frac{a\pm \sqrt{a^2 + 4c}}{2}
\]

于是令 \(a = b, c = \frac{d - b^2}4\)。

正确性很容易验证。

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然后用矩阵求一下即可。

在 \(2 | n\) 且 \(b \neq \sqrt d\) 的时候需要把 \(a_n - 1\)。

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#include<bits/stdc++.h>

#define fec(i, x, y) (int i = head[x], y = g[i].to; i; i = g[i].ne, y = g[i].to)
#define dbg(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#define File(x) freopen(#x".in", "r", stdin), freopen(#x".out", "w", stdout)
#define fi first
#define se second
#define pb push_back

template<typename A, typename B> inline char smax(A &a, const B &b) {return a < b ? a = b, 1 : 0;}
template<typename A, typename B> inline char smin(A &a, const B &b) {return b < a ? a = b, 1 : 0;}

typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; typedef std::pair<int, int> pii;

template<typename I> inline void read(I &x) {
	int f = 0, c;
	while (!isdigit(c = getchar())) c == '-' ? f = 1 : 0;
	x = c & 15;
	while (isdigit(c = getchar())) x = (x << 1) + (x << 3) + (c & 15);
	f ? x = -x : 0;
}

const ull P = 7528443412579576937;

ull n, b;
ull d;

inline ull smod(ull x) { return x >= P ? x - P : x; }
inline void sadd(ull &x, const ull &y) { x += y; x >= P ? x -= P : x; }

inline ull fmul(ull x, ull y) {
	ull ans = 0;
	for (; y; y >>= 1, sadd(x, x)) if (y & 1) sadd(ans, x);
	return ans;
}

struct Matrix {
	ull a[2][2];

	inline Matrix() { memset(a, 0, sizeof(a)); }
	inline Matrix(const ull &x) {
		memset(a, 0, sizeof(a));
		a[0][0] = a[1][1] = x;
	}

	inline Matrix operator * (const Matrix &b) {
		Matrix c;
		c.a[0][0] = smod(fmul(a[0][0], b.a[0][0]) + fmul(a[0][1], b.a[1][0]));
		c.a[0][1] = smod(fmul(a[0][0], b.a[0][1]) + fmul(a[0][1], b.a[1][1]));
		c.a[1][0] = smod(fmul(a[1][0], b.a[0][0]) + fmul(a[1][1], b.a[1][0]));
		c.a[1][1] = smod(fmul(a[1][0], b.a[0][1]) + fmul(a[1][1], b.a[1][1]));
		return c;
	}
} A, B;

inline Matrix fpow(Matrix x, ull y) {
	Matrix ans(1);
	for (; y; y >>= 1, x = x * x) if (y & 1) ans = ans * x;
	return ans;
}

inline void work() {
	if (n == 0) return (void)puts("1");
	B.a[0][0] = b, B.a[1][0] = 2;
	A.a[0][0] = b, A.a[0][1] = (d - (ull)b * b) / 4;
	A.a[1][0] = 1, A.a[1][1] = 0;
	B = fpow(A, n - 1) * B;
	if (n & 1) printf("%llu\n", B.a[0][0]);
	else printf("%llu\n", B.a[0][0] - !((ull)b * b == d));
}

inline void init() {
	read(b), read(d), read(n);
}

int main() {
#ifdef hzhkk
	freopen("hkk.in", "r", stdin);
#endif
	init();
	work();
	fclose(stdin), fclose(stdout);
	return 0;
}