[Codeforces 364D]Ghd(随机算法)

题面

给出n个正整数,在其中选出n/2(向上取整)个数,要求这些数的最大公约数最大,求最大公约数的最大值

分析

每个数被选到的概率$\geq \frac{1}{2}$,因此每次随机选出一个数x,选k次,对于每个数处理出它所能得到的最大答案。显然最大公约数一定是x的一个因数,我们看看x的哪个因数可以成为这n/2(向上取整)个数的gcd。

先对x进行因数分解。并求出x与所有a[i]的gcd ,看看哪个因数成为x和a[i]的gcd的次数最多,且次数超过n/2 。具体做法是,对于每个因数d[u],记录满足gcd(x,a[i])=d[u]的i的个数cnt[u]。然后对于两个因数d[i],d[j] (d[i]<d[j]),如果d[i]能整除d[j],说明j对应的数字也可以被这个的整除,应当把cnt[j]加到cnt[i]上 。最后扫描cnt数组,如果cnt[i]*2>n,就更新答案

这样的时间复杂度是$O(k(n\log max(a_i)+\sqrt{max(a_i)}+max(\sigma(a_i)^2) \ )\(,其中\)\sigma_(a_i)$为$a_i$的因数个数。

我们随机取k次,这k个数都不在最终答案的集合的概率为$1-2^{-k}$,经过实验,取k=10的时候能较好的平衡时间复杂度和正确概率。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#define maxn 1000000
#define maxt 10 //随机选数次数
using namespace std;
typedef long long ll;
int n;
ll a[maxn+5];
ll gcd(ll a,ll b){
return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int random(int l,int r){
return (long long )rand()*rand()%(r-l+1)+l;
} int sz=0;
ll d[maxn+5];
int cnt[maxn+5];
void divide(ll x){
sz=0;
for(ll i=1;i*i<=x;i++){
if(x%i==0){
d[++sz]=i;
if(x/i!=i) d[++sz]=x/i;
}
}
}
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%I64d",&a[i]);
ll ans=0;
for(int cas=1;cas<=maxt;cas++){
/*
每个数有1/2的概率被选中,随机t个数,假设它被选中,求出选中它时的答案
对随机出的数x分解因数,并求出x与所有a[i]的gcd
看看哪个因数成为x和a[i]的gcd的次数最多,且次数超过n/2
对于求出来的公因数,我们去从大到小找一个会成为超过一半数的因数的数字。
具体做法是,选择一个因数,去找比它大的因数,
如果它能整除大因数,说明大因数对应的数字也可以被这个小因数整除,应当把加到这个小因数的计数上
时间复杂度O(n+d^2)
但d很小,所以不会TLE
*/
ll x=a[random(1,n)];
divide(x);
sort(d+1,d+sz+1);
for(int i=1;i<=sz;i++) cnt[i]=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
int pos=lower_bound(d+1,d+1+sz,gcd(a[i],x))-d;
cnt[pos]++;
}
for(int i=1;i<=sz;i++){
for(int j=i+1;j<=sz;j++){
if(d[j]%d[i]==0) cnt[i]+=cnt[j];
}
}
for(int i=sz;i>=1;i--){
if(cnt[i]*2>=n){
ans=max(ans,d[i]);
break;
}
}
}
printf("%I64d\n",ans);
}
/*
2
11111111111
11111111111
*/

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