Description

Rivest是密码学专家。近日他正在研究一种数列E = {E[1],E[2],……,E[n]},

且E[1] = E[2] = p(p为一个质数),E[i] = E[i-2]*E[i-1] (若2<i<=n)。

例如{2,2,4,8,32,256,8192,……}就是p = 2的数列。在此基础上他又设计了一种加密算法,该算法可以通过一个密钥q (q < p)将一个正整数n加密成另外一个正整数d,计算公式为:d = E[n] mod q。现在Rivest想对一组数据进行加密,但他对程序设计不太感兴趣,请你帮助他设计一个数据加密程序。

Input

第一行读入m,p。其中m表示数据个数,p用来生成数列E。 以下有m行,每行有2个整数n,q。n为待加密数据,q为密钥。 数据范围: 0 < p n< 2^31 0 < q < p 0 < m <= 5000。

Output

将加密后的数据按顺序输出到文件 第i行输出第i个加密后的数据。 输入样例1 2 7 4 5 4 6 输入样例2 4 7 2 4 7 1 6 5 9 3

Sample Input

输入样例1

2 7

4 5

4 6

输入样例2

4 7

2 4

7 1

6 5

9 3

Sample Output

输出样例1

3

1

输出样例2

3

0

1

1

时空限制

1s,64MB

【题解】

      我心中的题目难度排名:数学>玄学>信息学……千古难题数学题,考试的时候刚开始连式子都没推,直接暴力递推骗来49分。后来一直在打大模拟,最后临交卷回来看一眼好像是斐波那契,起码应该拿矩阵快速幂和普通快速幂搞一搞,但是没有时间了就没有打。

欧拉定理,我的理解就是用来降幂,不过这道题好像模了phi[c]之后并没有加phi[c],此等天机本蒟蒻不明觉厉。这个式子推一推就发现p的指数是斐波那契数列,但是斐波那契数列增长很快,所以只能用欧拉定理降幂。具体做法是预处理或直接求q的欧拉函数,把它作为求斐波那契数列的矩阵快速幂里的模数,然后得到降幂后的指数再普通快速幂求p的幂。

结合快速幂和欧拉定理,这道题大概并不太难。但是在考场上一是没有仔细想,二来也根本没有降幂的意识。数论就像英语音标一样,学了一遍又一遍,还是忘的多会的少。改题的过程更痛苦,几乎是重学欧拉函数(欧拉定理我学过吗?),原来学的数论只为了做那么两三道题,过后连点定义都说不明白。提高数学水平,是迫在眉睫的问题了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
const int sj=;
int m;
ll n,p,q,temp,k,phi[sj],s[sj],ge;
bool v[sj];
void prime(ll x)
{
for(ll i=;i<x;i++)
{
if(!v[i])
{
s[ge++]=i;
phi[i]=i-;
}
for(ll j=;j<ge&&i*s[j]<x;j++)
{
ll mb=i*s[j];
v[mb]=;
if(i%s[j]==)
{
phi[mb]=phi[i]*s[j];
break;
}
else phi[mb]=phi[i]*(s[j]-);
}
}
phi[]=;
}
ll fb(ll x,ll y)
{
ll a[][]={},ans[][]={},f[][]={};
a[][]=a[][]=a[][]=ans[][]=ans[][]=;
while(x)
{
if(x&)
{
memset(f,,sizeof(f));
for(int i=;i<;i++)
for(int j=;j<;j++)
for(int l=;l<;l++)
f[i][j]+=ans[i][l]*a[l][j]%y;
memcpy(ans,f,sizeof(f));
}
x>>=;
memset(f,,sizeof(f));
for(int i=;i<;i++)
for(int j=;j<;j++)
for(int l=;l<;l++)
f[i][j]+=a[i][l]*a[l][j]%y;
memcpy(f,a,sizeof(a));
}
memset(f,,sizeof(f));
memset(a,,sizeof(a));
f[][]=;
f[][]=;
for(int i=;i<;i++)
for(int j=;j<;j++)
for(int l=;l<;l++)
a[i][j]+=f[i][l]*ans[l][j]%y;
return a[][]%y;
}
ll ph(ll x)
{
if(x<sj) return phi[x];
ll temp=x;
for(ll i=;i*i<=x;i++)
if(x%i==)
{
temp=temp-temp/i;
while(x%i==)
x/=i;
}
if(x>)
temp=temp-temp/x;
return temp;
}
ll ksm(ll x,ll y,ll z)
{
x%=z;
ll jg=;
while(y)
{
if(y&) jg=jg*x%z;
x=x*x%z;
y>>=;
}
return jg%z;
}
int main()
{
prime(sj-);
scanf("%d%lld",&m,&p);
for(int i=;i<=m;i++)
{
scanf("%lld%lld",&n,&q);
printf("%lld\n",ksm(p,fb((n-),ph(q)),q));
}
return ;
}

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