【BZOJ2087】[Poi2010]Sheep 几何+DP

【BZOJ2087】[Poi2010]Sheep

Description

Lyx的QQ牧场养了很多偶数个的羊，他是Vip，所以牧场是凸多边形（畸形）。现在因为他开挂，受到了惩罚，系统要求他把牧场全部分为三角形（划分线不能在牧场中相交，只能在顶点相交），羊也是有个性的，如果他们在三角形中是单数就会有羊自杀（Lyx的样就是畸形），这让Lyx很难办，于是他向你求助了。

Input

输入：第一行由空格隔开的3个整数n（4<=n<=600），k（2<=k<=20000），m(2<=m<=20000)，n表示牧场的顶点数，k表示羊的个数（保证为偶数）。接下来n行为顶点的坐标xi、yi，（-15000<=xi,yi<=15000）由空格隔开，接下来k行为羊的坐标，pi，pj，和xi，yi范围一样但是不会在顶点上，严格在牧场内。

Output

输出：牧场能划分的总方案数被m除的余数。

Sample Input

5 4 10
5 5
3 0
-1 -1
-3 4
1 10
1 0
-1 0
1 6
-2 5

Sample Output

3

题解：先枚举每个点，将所有羊按关于这个点的极角排序，然后用扫描线扫一遍所有的羊和顶点，即可知道这个点可以和那些点连线使得连线的左右两边的羊数都是偶数。这样我们就得到了所有合法的线段。

然后考虑DP，用f[i][j]表示在从i顺时针到j的这些点中三角剖分的方案数。转移时我们枚举i-j这条边和哪个点相连形成三角形，即：

$f[i][j]=\sum\limits_{k\in(i..j)}f[i][k]\times f[k][j] (i-k和k-j的线段都合法)$

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n,m,P;
int f[610][610];
bool ok[610][610];
struct point
{
	int x,y;
	point() {}
	point(int A,int B) {x=A,y=B;}
	point operator - (const point &a) const {return point(x-a.x,y-a.y);}
	int operator * (const point &a) const {return x*a.y-y*a.x;}
}p[610],q[20010],now;
inline int I(int x) {return (x==n)?1:x+1;}
bool cmp(const point &a,const point &b)
{
	return (a-now)*(b-a)<0;
}
inline int rd()
{
	int ret=0,f=1;	char gc=getchar();
	while(gc<'0'||gc>'9')	{if(gc=='-')	f=-f;	gc=getchar();}
	while(gc>='0'&&gc<='9')	ret=ret*10+(gc^'0'),gc=getchar();
	return ret*f;
}
int main()
{
	n=rd(),m=rd(),P=rd();
	int i,j,k,len;
	for(i=1;i<=n;i++)	p[i].x=rd(),p[i].y=rd();
	for(i=1;i<=m;i++)	q[i].x=rd(),q[i].y=rd();
	now=p[1];
	sort(p+2,p+n+1,cmp);
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		now=p[i];
		sort(q+1,q+m+1,cmp);
		for(k=1,j=I(i);j!=i;j=I(j))
		{
			for(;k<=m&&(p[j]-now)*(q[k]-p[j])>0;k++);
			if((k&1)&&!(k<=m&&(p[j]-now)*(q[k]-p[j])==0))	ok[i][j]=1;
		}
	}
	for(i=1;i<=n;i++)	f[i][I(i)]=1;
	for(len=2;len<n;len++)	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		j=i+len;
		if(j>n)	j-=n;
		for(k=I(i);k!=j;k=I(k))	if(ok[i][k]&&ok[k][j])	f[i][j]=(f[i][j]+f[i][k]*f[k][j])%P;
	}
	printf("%d",f[1][n]);
	return 0;
}