CF .Beautiful numbers 区间有多少个数字是可以被它的每一位非零位整除。(数位DP)
题意:数字满足的条件是该数字可以被它的每一位非零位整除。
分析:大概的思路我是可以想到的 , 但没有想到原来可以这样极限的化简 , 在数位dp 的道路上还很长呀 ;
我们都知道数位dp 的套路 , 核心的部分就是找到判断这个数的满足条件的方法 , 如果找到了那这个问题就迎刃而解了吧 ;
这个题的条件是数字被每一位非零的数整除,那是不是这个是应该被每一位的最小公倍数整除 ,这里是这道题目的关键!!!!!!!! 1-9的最小公倍数是2520 , 所以其他位数最公倍数都是在2520内的(看这样考虑的话 dp数组只要开2520就好了 ,牛逼!!!)
dfs( pos , num , lcm , limit) : 在第几位 , 当前的数字,当前数字所有非零位的最小公倍数,是否限制。
下面关键的地方又来了: 因为我们枚举完判断是num%lcm是否为0 , 所以!!每次传入num都%2520!! ,这样数组又可以开小了许多 ;
但是因为我们的dp[pos][num][lcm] , 19*2520*2520 , 这个是无法开的 , 那我们这么办呢??
又是一个关键!这里居然用到离散化 !! 牛逼! 所以对于lcm这一维我们需要进行离散化,经过打表可以发现,2520内可以整除2520的只有48个,所以我们可以离散化一下让lcm映射到1-48既可以了这样就可以开19x2520x48大小的了。1-2520中可能是最小公倍数的其实只有48个,经过离散化处理后,dp数组的最后一维可以降到48,这样就不会超了
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MOD = ;
int Hash[];
int digit[];
ll dp[][][];
void init(){
int cnt = ;
for(int i = ; i <= MOD; i++){
if(MOD % i == )
Hash[i] = cnt++;
}
}
ll gcd(ll a,ll b){
if(!b)
return a;
else return gcd(b,a%b);
}
ll dfs(int pos,int num,int lcm,int limit){
if(pos == -)
return num % lcm == ;
ll &dpnow = dp[pos][num][Hash[lcm]];
if(!limit && dpnow != -)
return dpnow;
int max_digit = limit ? digit[pos] : ;
ll ans = ;
for(int i = ; i <= max_digit; i++){
ans += dfs((pos - ), ((num * + i) % MOD), (!i ? lcm : lcm * i / gcd(lcm,i)), (limit && i == max_digit));
}
if(!limit) dpnow = ans;
return ans;
}
ll solve(ll n){
int pos = ;
while(n){
digit[pos++] = n % ;
n /= ;
}
return dfs(pos-,,,);
}
int main(){
init();
int t;
cin >> t;
memset(dp,-,sizeof(dp));
while(t--){
ll l,r;
cin >> l >> r;
cout << solve(r) - solve(l-) << endl;
}
return ;
}
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