P4719 【模板】动态dp

$\color{#0066ff}{ 题目描述 }$

给定一棵$n$个点的树，点带点权。

有$m$次操作，每次操作给定$x,y$，表示修改点xx的权值为$y$。

你需要在每次操作之后求出这棵树的最大权独立集的权值大小。

$\color{#0066ff}{输入格式}$

第一行，$n,m$分别代表点数和操作数。

第二行，$V_1,V_2,...,V_n$，代表$n$个点的权值。

接下来$n-1$行，$x,y$，描述这棵树的$n-1$条边。

接下来$m$行，$x,y$，修改点xx的权值为$y$。

$\color{#0066ff}{输出格式}$

对于每个操作输出一行一个整数，代表这次操作后的树上最大权独立集。

保证答案在int范围内

$\color{#0066ff}{输入样例}$

10 10
-11 80 -99 -76 56 38 92 -51 -34 47
2 1
3 1
4 3
5 2
6 2
7 1
8 2
9 4
10 7
9 -44
2 -17
2 98
7 -58
8 48
3 99
8 -61
9 76
9 14
10 93

$\color{#0066ff}{输出样例}$

$\color{#0066ff}{数据范围与提示}$

对于30%的数据，$1\le n,m\le 10$

对于60%的数据，$1\le n,m\le 1000$

对于100%的数据，$1\le n,m\le 10^5$

$\color{#0066ff}{ 题解 }$

动态DP就是带修改的DP

首先，考虑不带修改的DP

对于本题

设$f[i][0]$为以i为根子树不选i的ans，$f[i][1]$为以i为根子树选i的ans

转移

$f[x][0]=\sum max(f[son][0],f[son][1])$

$f[x][1] = \sum f[son][0]+val[x]$

我们进行树链剖分

定义$g[x][0/1]$为以x为根子树，只考虑轻儿子的ans

这个可以跟f一块求出，只有当儿子是轻儿子的时候才用儿子的f转移到当前的g

那么我们改写DP式子

$f[x][0]=g[x][0]+max(f[son][0],f[son][1])$

$f[x][1]=g[x][1]+f[son][0]$

然后每个点，我们维护一个矩阵，考虑转移

$\left\{\begin{matrix} f[son][0] \\ f[son][1] \end{matrix}\right\} \to \left\{\begin{matrix} f[x][0] \\ f[x][1] \end{matrix}\right\}$

由转移式子得出，需要取max和+

所以我们定义 * 为 + ， + 为取max

不难推出转移矩阵

$\left\{\begin{matrix} g[x][0]& g[x][0]\\ g[x][1] & -inf \end{matrix}\right\}$

因此$\left\{\begin{matrix} g[x][0]& g[x][0]\\ g[x][1] & -inf \end{matrix}\right\} * \left\{\begin{matrix} f[son][0] \\ f[son][1] \end{matrix}\right\} = \left\{\begin{matrix} f[x][0] \\ f[x][1] \end{matrix}\right\}$

可以发现，叶子节点的f和g是一样的，而且一条重链，必以叶子节点结束

所以我们按照树链剖分，用线段树维护矩阵的积，每条重链记录一下这条链的链尾的dfn

这样ans=1所在重链的矩阵的积的其中左面两个值的max

考虑修改

对于点x

可以发现，如果x是重儿子，那么所在重链的转移矩阵是毫无影响的

因为矩阵中都是g，而g是轻儿子的ans

那么我们每次只需修改一个点，然后跳到链顶，这时候，链顶的fa的矩阵需要改变

可以在改变前求出链顶矩阵，改变后求出链顶矩阵

然后根据DP式子，找到矩阵的变化量$\Delta$，其实就是减去原来这个儿子的贡献在加上新的贡献就行了

因为本题的DP都是取$\sum$，所以直接加减就行了

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
LL in() {
	char ch; LL x = 0, f = 1;
	while(!isdigit(ch = getchar()))(ch == '-') && (f = -f);
	for(x = ch ^ 48; isdigit(ch = getchar()); x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48));
	return x * f;
}
const int maxn = 1e5 + 100;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
struct Matrix {
	int a[2][2];
	Matrix(int n = 0, int m = 0, int p = 0, int q = 0) {
		a[0][0] = n;
		a[0][1] = m;
		a[1][0] = p;
		a[1][1] = q;
	}
	friend Matrix operator * (const Matrix &c, const Matrix &d) {
		Matrix t(-inf, -inf, -inf, -inf);
		for(int i = 0; i <= 1; i++)
			for(int j = 0; j <= 1; j++)
				for(int k = 0; k <= 1; k++)
					t.a[i][j] = std::max(t.a[i][j], c.a[i][k] + d.a[k][j]);
		return t;
	}
	friend Matrix operator + (const Matrix &c, const Matrix &d) {
		return Matrix(c.a[0][0] + d.a[0][0], c.a[0][1] + d.a[0][1], c.a[1][0] + d.a[1][0], c.a[1][1] + d.a[1][1]);
	}
	friend Matrix operator - (const Matrix &c, const Matrix &d) {
		return Matrix(c.a[0][0] - d.a[0][0], c.a[0][1] - d.a[0][1], c.a[1][0] - d.a[1][0], c.a[1][1] - d.a[1][1]);
	}
}val[maxn];
struct Tree {
	int l, r;
	Tree *ch[2];
	Matrix val;
	Tree(int l = 0, int r = 0, Matrix c = Matrix(0, 0, 0, 0)): l(l), r(r), val(c) {
		ch[0] = ch[1] = NULL;
	}
	void *operator new (size_t) {
		static Tree *S = NULL, *T = NULL;
		return (S == T) && (T = (S = new Tree[1024]) + 1024), S++;
	}
	void upd() {
		val = ch[0]->val * ch[1]->val;
	}
};
Tree *root;
struct node {
	int to;
	node *nxt;
	node(int to = 0, node *nxt = NULL): to(to), nxt(nxt) {}
	void *operator new (size_t) {
		static node *S = NULL, *T = NULL;
		return (S == T) && (T = (S = new node[1024]) + 1024), S++;
	}
};
node *head[maxn];
int son[maxn], dep[maxn], siz[maxn], fa[maxn], n, m, c[maxn];
int top[maxn], dfn[maxn], redfn[maxn], e[maxn];
int f[maxn][2], g[maxn][2], cnt;
void add(int from, int to) {
	head[from] = new node(to, head[from]);
}
void dfs1(int x, int ft) {
	fa[x] = ft;
	dep[x] = dep[ft] + 1;
	siz[x] = 1;
	for(node *i = head[x]; i; i = i->nxt) {
		if(i->to == ft) continue;
		dfs1(i->to, x);
		siz[x] += siz[i->to];
		if(!son[x] || siz[i->to] > siz[son[x]]) son[x] = i->to;
	}
}
void dfs2(int x, int t) {
	top[redfn[dfn[x] = ++cnt] = x] = t;
	e[t] = dfn[x];
	if(son[x]) dfs2(son[x], t);
	for(node *i = head[x]; i; i = i->nxt)
		if(!dfn[i->to]) dfs2(i->to, i->to);
}
void dfs3(int x, int ft) {
	f[x][1] = g[x][1] = c[x];
	for(node *i = head[x]; i; i = i->nxt) {
		if(i->to == ft) continue;
		dfs3(i->to, x);
		f[x][1] += f[i->to][0];
		f[x][0] += std::max(f[i->to][0], f[i->to][1]);
		if(i->to != son[x]) {
			g[x][1] += f[i->to][0];
			g[x][0] += std::max(f[i->to][0], f[i->to][1]);
		}
	}
	val[x] = Matrix(g[x][0], g[x][0], g[x][1], -inf);
}
void build(Tree *&o, int l, int r) {
	o = new Tree(l, r, Matrix(0, 0, 0, 0));
	if(l == r) return (void)(o->val = val[redfn[l]]);
	int mid = (l + r) >> 1;
	build(o->ch[0], l, mid);
	build(o->ch[1], mid + 1, r);
	o->upd();
}
Matrix query(Tree *o, int l, int r) {
	if(o->r < l || o->l > r) return Matrix(0, -inf, -inf, 0);
	if(l <= o->l && o->r <= r) return o->val;
	return query(o->ch[0], l, r) * query(o->ch[1], l, r);
}
void change(Tree *o, int pos, Matrix v) {
	if(o->r < pos || o->l > pos) return;
	if(o->l == o->r) return (void)(o->val = v);
	change(o->ch[0], pos, v), change(o->ch[1], pos, v);
	o->upd();
}
Matrix query(int x) {
	return query(root, dfn[x], e[top[x]]);
}
void change(int x, int v) {
	val[x] = val[x] + Matrix(0, 0, -c[x] + v, 0);
	c[x] = v;
	int fx = top[x], ffx = fa[fx];
	while(1) {
		Matrix Old = query(fx);
		change(root, dfn[x], val[x]);
		if(!ffx) return;
		Matrix New = query(fx);
		val[ffx].a[0][0] += std::max(New.a[0][0], New.a[1][0]) - std::max(Old.a[0][0], Old.a[1][0]);
		val[ffx].a[0][1] = val[ffx].a[0][0];
		val[ffx].a[1][0] += New.a[0][0] - Old.a[0][0];
		x = ffx;
		fx = top[x];
		ffx = fa[fx];
	}
}
int main() {
	n = in(), m = in();
	for(int i = 1; i <= n; i++) c[i] = in();
	int x, y;
	for(int i = 1; i < n; i++) {
		x = in(), y = in();
		add(x, y), add(y, x);
	}
	dfs1(1, 0);
	dfs2(1, 1);
	dfs3(1, 0);
	build(root, 1, n);
	while(m --> 0) {
		x = in(), y = in();
		change(x, y);
		Matrix ans = query(1);
		printf("%d\n", std::max(ans.a[0][0], ans.a[1][0]));
	}
	return 0;
}