LDA（Latent Dirichlet Allocation）

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LDA（Latent Dirichlet Allocation）学习笔记

最近在看LDA算法，经过了几天挣扎，总算大致了解了这个算法的整体框架和流程。

示例

LDA要干的事情简单来说就是为一堆文档进行聚类（所以是非监督学习），一种topic就是一类，要聚成的topic数目是事先指定的。聚类的结果是一个概率，而不是布尔型的100%属于某个类。国外有个博客[1]上有一个清晰的例子，直接引用：

Suppose you have the following set of sentences:

I like to eat broccoli and bananas.

I ate a banana and spinach smoothie for breakfast.

Chinchillas and kittens are cute.

My sister adopted a kitten yesterday.

Look at this cute hamster munching on a piece of broccoli.

What is latent Dirichlet allocation? It’s a way of automatically discovering topics that these sentences contain. For example, given these sentences and asked for 2 topics, LDA might produce something like

Sentences 1 and 2: 100% Topic A

Sentences 3 and 4: 100% Topic B

Sentence 5: 60% Topic A, 40% Topic B

Topic A: 30% broccoli, 15% bananas, 10% breakfast, 10% munching, … (at which point, you could interpret topic A to be about food)

Topic B: 20% chinchillas, 20% kittens, 20% cute, 15% hamster, … (at which point, you could interpret topic B to be about cute animals)

上面关于sentence 5的结果，可以看出来是一个明显的概率类型的聚类结果（sentence 1和2正好都是100%的确定性结果）。

再看例子里的结果，除了为每句话得出了一个概率的聚类结果，而且对每个Topic，都有代表性的词以及一个比例。以Topic A为例，就是说所有对应到Topic A的词里面，有30%的词是broccoli。在LDA算法中，会把每一个文档中的每一个词对应到一个Topic，所以能算出上面这个比例。这些词为描述这个Topic起了一个很好的指导意义，我想这就是LDA区别于传统文本聚类的优势吧。

LDA整体流程

先定义一些字母的含义：

文档集合D，topic集合T
D中每个文档d看作一个单词序列< w1,w2,...,wn >，wi表示第i个单词，设d有n个单词。（LDA里面称之为word bag，实际上每个单词的出现位置对LDA算法无影响）
D中涉及的所有不同单词组成一个大集合VOCABULARY（简称VOC）

LDA以文档集合D作为输入（会有切词，去停用词，取词干等常见的预处理，略去不表），希望训练出的两个结果向量（设聚成k个Topic，VOC中共包含m个词）：

对每个D中的文档d，对应到不同topic的概率θ_d < p_t1,..., p_tk >，其中，p_ti表示d对应T中第i个topic的概率。计算方法是直观的，p_ti=n_ti/n，其中n_ti表示d中对应第i个topic的词的数目，n是d中所有词的总数。
对每个T中的topic t，生成不同单词的概率φ_t < p_w1,..., p_wm >，其中，p_wi表示t生成VOC中第i个单词的概率。计算方法同样很直观，p_wi=N_wi/N，其中N_wi表示对应到topic t的VOC中第i个单词的数目，N表示所有对应到topic t的单词总数。

LDA的核心公式如下：

p(w|d) = p(w|t)*p(t|d)

直观的看这个公式，就是以Topic作为中间层，可以通过当前的θ_d和φ_t给出了文档d中出现单词w的概率。其中p(t|d)利用θ_d计算得到，p(w|t)利用φ_t计算得到。

实际上，利用当前的θ_d和φ_t，我们可以为一个文档中的一个单词计算它对应任意一个Topic时的p(w|d)，然后根据这些结果来更新这个词应该对应的topic。然后，如果这个更新改变了这个单词所对应的Topic，就会反过来影响θ_d和φ_t。

LDA算法开始时，先随机地给θ_d和φ_t赋值（对所有的d和t）。然后上述过程不断重复，最终收敛到的结果就是LDA的输出。

再详细说一下这个迭代的学习过程：

针对一个特定的文档d_s中的第i单词w_i，如果令该单词对应的topic为t_j，可以把上述公式改写为：

p_j(w_i|d_s) = p(w_i|t_j)*p(t_j|d_s)

先不管这个值怎么计算（可以先理解成直接从θ_ds和φ_tj中取对应的项。实际没这么简单，但对理解整个LDA流程没什么影响，后文再说。）。现在我们可以枚举T中的topic，得到所有的p_j(w_i|d_s)，其中j取值1~k。然后可以根据这些概率值结果为d_s中的第i个单词w_i选择一个topic。最简单的想法是取令p_j(w_i|d_s)最大的t_j（注意，这个式子里只有j是变量），即

argmax[j]p_j(w_i|d_s)

当然这只是一种方法（好像还不怎么常用），实际上这里怎么选择t在学术界有很多方法，我还没有好好去研究。

然后，如果d_s中的第i个单词w_i在这里选择了一个与原先不同的topic，就会对θ_d和φ_t有影响了（根据前面提到过的这两个向量的计算公式可以很容易知道）。它们的影响又会反过来影响对上面提到的p(w|d)的计算。对D中所有的d中的所有w进行一次p(w|d)的计算并重新选择topic看作一次迭代。这样进行n次循环迭代之后，就会收敛到LDA所需要的结果了。【在这里突然想到了一个问题，就是对θ_d和φ_t这两个向量的更新究竟是在一次迭代对所有的d中的所有w更新之后统一更新（也就是在一次迭代中，θ_d和φ_t不变，统一在迭代结束时更新），还是每对一个d中的一个w更新topic之后，就马上对θ_d和φ_t进行更新呢？这个看来要去看一下那篇LDA最原始的论文了】

怎样计算p(w|t)和p(t|d)

待续……