[loj3333]混合物

假设选择的调味瓶为$k_{1}<k_{2}<...<k_{s}$，即判定是否存在正有理数解$\{x_{1},x_{2},...,x_{s}\}$，满足
$$
(\sum_{i=1}^{s}x_{i}S_{k_{i}}):(\sum_{i=1}^{s}x_{i}P_{k_{i}}):(\sum_{i=1}^{s}x_{i}G_{k_{i}})=S_{f}:P_{f}:G_{f}
$$
将三者的和作为分母（避免为0），也即$\begin{cases}\frac{\sum_{i=1}^{s}x_{i}S_{k_{i}}}{\sum_{i=1}^{s}x_{i}(S_{k_{i}}+P_{k_{i}}+G_{k_{i}})}=\frac{S_{f}}{S_{f}+P_{f}+G_{f}}\\\frac{\sum_{i=1}^{s}x_{i}P_{k_{i}}}{\sum_{i=1}^{s}x_{i}(S_{k_{i}}+P_{k_{i}}+G_{k_{i}})}=\frac{P_{f}}{S_{f}+P_{f}+G_{f}}\end{cases}$（此时另一项必然成立）

事实上，这等价于存在正有理数解$\{y_{i}\}$，满足$\begin{cases}\sum_{i=1}^{s}y_{i}(\frac{S_{k_{i}}}{S_{k_{i}}+P_{k_{i}}+G_{k_{i}}}-\frac{S_{f}}{S_{f}+P_{f}+G_{f}})=0\\\sum_{i=1}^{s}y_{i}(\frac{P_{k_{i}}}{S_{k_{i}}+P_{k_{i}}+G_{k_{i}}}-\frac{P_{f}}{S_{f}+P_{f}+G_{f}})=0\end{cases}$

关于等价性，证明如下——

如果存在解$\{x_{i}\}$，令$y_{i}=\frac{x_{i}(S_{k_{i}}+P_{k_{i}}+G_{k_{i}})}{\sum_{j=1}^{s}x_{j}(S_{k_{j}}+P_{k_{j}}+G_{k_{j}})}$代入显然成立，即存在

如果存在解$\{y_{i}\}$，令$x_{i}=\frac{y_{i}}{S_{k_{i}}+P_{k_{i}}+G_{k_{i}}}$代入显然成立，即存在

记点$P_{i}(\frac{S_{{i}}}{S_{{i}}+P_{{i}}+G_{{i}}}-\frac{S_{f}}{S_{f}+P_{f}+G_{f}},\frac{P_{{i}}}{S_{{i}}+P_{{i}}+G_{{i}}}-\frac{P_{f}}{S_{f}+P_{f}+G_{f}})$，存在解$\{y_{i}\}$即等价于$\{P_{k_{i}}\}$这些点的凸包包含$O$（包括边界）

换言之，也即找到一个边数最少的凸多边形，其顶点在$\{P_{i}\}$中且包含$O$

设其有$s$条边，若$s\ge 4$，将其划分为$s-2$个三角形，其中总有一个三角形包含$O$，因此$s\le 3$

当$s=1$，即一个顶点，那么必然为$O$，也即判定是否存在$i$使得$P_{i}=O$

统计$P_{i}=O$的个数即可，复杂度为$o(1)$

当$s=2$，即是一条经过$O$的线段，也即判定是否存在$i$和$j$使得$\angle P_{i}OP_{j}=\pi$

（这里认为$\angle P_{i}OP_{j}$是有方向的，即从$OP_{i}$这条射线逆时针旋转至$OP_{j}$的角度）

令$\alpha_{i}$为$P_{i}$到圆心的极角（不考虑$P_{i}=O$的点），则$\angle P_{i}OP_{j}=\begin{cases}\alpha_{j}-\alpha_{i}&(\alpha_{i}\le \alpha_{j})\\\alpha_{j}-\alpha_{i}+2\pi&(\alpha_{i}>\alpha_{j})\end{cases}$

由此，即判定是否存在$|\alpha_{i}-\alpha_{j}|=\pi$，对$\alpha_{i}$用map/set维护即可，复杂度为$o(\log n)$

当$s=3$，即是一个三角形，也即判定是否存在$i,j$和$k$使得$\angle P_{i}OP_{j},\angle P_{j}OP_{k},\angle P_{k}OP_{i}\le \pi$

将$P_{i}$按照$\alpha_{i}$从小到大排序，即$\alpha_{1}\le \alpha_{2}\le...\le\alpha_{n}$，若存在$\angle P_{i}OP_{i\ mod\ n+1}>\pi$，考虑这个角总会在上述三个角某一个的内部，即该角度$>\pi$，因此无解

另一方面，若不存在$\angle P_{i}OP_{i\ mod\ n+1}\le \pi$，那么取$i=1$、$j=\max_{\alpha_{x}-\alpha_{i}\le \pi}x$和$k=\max_{\alpha_{x}-\alpha_{j}\le \pi}x$，显然利用上述性质分析可得$i<j<k$

进而，根据定义有$\angle P_{i}OP_{j},\angle P_{j}OP_{k}\le \pi$，同时$\angle P_{k}OP_{i}=2\pi-P_{i}OP_{k}<\pi$（显然$P_{i}OP_{k}>\pi$，否则$j$可以取$k$，与$j$最大性矛盾），满足条件

由此，即判定是否存在$\angle P_{i}OP_{i\ mod\ n+1}>\pi$

注意到这个角一定会"经过"（指旋转过程中）$x$轴的正半轴或负半轴，否则显然不可能$>\pi$，同时其中"经过"$x$轴的正半轴或负半轴的角只有两个——即$P_{n}OP_{1}$和$P_{k}OP_{k+1}$（其中$\alpha_{k}<\pi<\alpha_{k+1}$）

用set维护即可，复杂度为$o(\log n)$

总时间复杂度为$o(n\log n)$，可以通过

（精度误差比较严重，set中要手写比较函数）

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define N 100005
 4 #define eps 1e-10
 5 #define PI acos((ld)-1.0)
 6 #define ll long long
 7 #define ld long double
 8 struct cmp{
 9     bool operator () (const ld &x,const ld &y)const{
10         return x+eps<y;
11     }
12 };
13 multiset<ld,cmp>S;
14 multiset<ld,cmp>::iterator it;
15 int n,m,x,ans1,ans2;
16 ld A,B,C,AA,BB,CC,a[N],b[N],c[N];
17 char s[11];
18 ld get(ld k){
19     if (k<PI)return k+PI;
20     return k-PI;
21 }
22 int main(){
23     scanf("%Lf%Lf%Lf%d",&A,&B,&C,&n);
24     ld ss=A+B+C;
25     A/=ss,B/=ss;
26     for(int i=1;i<=n;i++){
27         scanf("%s",s);
28         if (s[0]=='A'){
29             scanf("%Lf%Lf%Lf",&AA,&BB,&CC);
30             a[++m]=AA/(AA+BB+CC)-A;
31             b[m]=BB/(AA+BB+CC)-B;
32             if ((!a[m])&&(!b[m]))ans1++;
33             else{
34                 c[m]=atan2(a[m],b[m]);
35                 if (c[m]<0)c[m]+=2*PI;
36                 if ((S.find(c[m])==S.end())&&(S.find(get(c[m]))!=S.end()))ans2++;
37                 S.insert(c[m]);
38             }
39         }
40         else{
41             scanf("%d",&x);
42             if ((!a[x])&&(!b[x]))ans1--;
43             else{
44                 S.erase(S.find(c[x]));
45                 if ((S.find(c[x])==S.end())&&(S.find(get(c[x]))!=S.end()))ans2--;
46             }
47         }
48         if (ans1){
49             printf("1\n");
50             continue;
51         }
52         if (ans2){
53             printf("2\n");
54             continue;
55         }
56         if ((S.size()<2)||((*--S.end())-(*S.begin())<PI)){
57             printf("0\n");
58             continue;
59         }
60         ld pre=(*--S.upper_bound(PI)),nex=(*S.lower_bound(PI));
61         if (nex-pre>PI)printf("0\n");
62         else printf("3\n");
63     }
64 }