P3980-[NOI2008]志愿者招募【费用流】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3980

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题目大意

\(n\)天，第\(i\)天需要\(A_i\)个志愿者。有\(m\)种志愿者，第\(i\)种从\(s_i\)天服务到\(t_i\)天，需要\(c_i\)元的费用。

求满足条件的最小费用

\(1\leq n\leq 1000,1\leq m\leq 10000\)

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解题思路

考虑费用流

如果雇佣了\(s_i\)天到\(t_i\)天的话那么就相当于将这段范围\(A_i\)的值减一，注意到是区间的\(1\)需要\(c_i\)的费用，那么肯定这个条件是压缩成一条边的，也就是\(s_i\)向\(t_i+1\)连接费用为\(1\)的边。

这样的话考虑如何满足条件，注意到是减一也就是抽走一条经过\(s_i\)到\(t_i\)的流量，也就是对于这些流量的限制。

建立\(n\)个点，\(i\)向\(i+1\)连接流量为\(T-A_i\)（\(T\)是一个很大的数就可以了）表示至少需要抽走\(A_i\)的流量就好了。

然后跑费用流

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1100,T=(1ll<<31),inf=1e18;
struct node{
	ll to,next,w,c;
}a[N*22];
ll n,m,s,t,tot=1,ans,ls[N],f[N],mf[N],pre[N];
bool v[N];queue<int> q;
void addl(ll x,ll y,ll w,ll c){
	a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;a[tot].w=w;a[tot].c=c;
	a[++tot].to=x;a[tot].next=ls[y];ls[y]=tot;a[tot].w=0;a[tot].c=-c;
	return;
}
bool SPFA(){
	memset(f,0x3f,sizeof(f));
	q.push(s);f[s]=0;v[s]=1;mf[s]=T;
	while(!q.empty()){
		ll x=q.front();q.pop();v[x]=0;
		for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){
			ll y=a[i].to;
			if(a[i].w&&f[x]+a[i].c<f[y]){
				f[y]=f[x]+a[i].c;pre[y]=i;
				mf[y]=min(mf[x],a[i].w);
				if(!v[y])v[y]=1,q.push(y);
			}
		}
	}
	return (f[t]<inf);
}
void Updata(){
	ll x=t;ans+=mf[t]*f[t];
	while(x!=s){
		a[pre[x]].w-=mf[t];
		a[pre[x]^1].w+=mf[t];
		x=a[pre[x]^1].to;
	}
	return;
}
signed main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	s=n+2;t=s+1;
	addl(s,1,T,0);
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		ll x;
		scanf("%lld",&x);
		addl(i,i+1,T-x,0);
	}
	for(ll i=1;i<=m;i++){
		ll s,t,c;
		scanf("%lld%lld%lld",&s,&t,&c);
		addl(s,t+1,T,c);
	}
	addl(n+1,t,T,0);
	while(SPFA())
		Updata();
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}