poj1265&&2954 [皮克定理 格点多边形]【学习笔记】
Q:皮克定理这种一句话的东西为什么还要写学习笔记啊?
A:多好玩啊...
PS:除了蓝色字体之外都是废话啊...
Part I
1.顶点全在格点上的多边形叫做格点多边形(坐标全是整数)
2.维基百科
Given a simple polygon constructed on a grid of equal-distanced points (i.e., points with integer coordinates) such that all the polygon's vertices are grid points, Pick's theorem provides a simple formula for calculating the area A of this polygon in terms of the number i of lattice points in the interior located in the polygon and the number b of lattice points on the boundary placed on the polygon's perimeter:[1]
3.看不懂英文?
S=a+b/2-1,其中a表示多边形内部的点数,b表示多边形边界上的点数,s表示多边形的面积。
证明:
1.先证明直角三角形和矩形 在逆用证明任意三角形,归纳法证明任意多边形
2.
From:http://www.matrix67.com/blog/archives/768
最酷的证明:Pick定理另类证法
难以想像,一段小小的证明竟然能比一个瘦小的留着长头发穿黑色短袖T恤紧身牛仔裤边跳边弹吉他的MM还要酷。原来一直以为这个证明已经很酷了,现在显然我已经找到了一个更酷的证明。
Pick定理是说,假设平面上有一个顶点全在格点上的多边形P,那么其面积S(P)应该等于i+b/2-1,其中i为多边形内部所含的格点数,b是多边形边界上的格点数。绝大多数证明都是用割补的办法重新拼拆多边形。这里,我们来看一个另类的证明。
假设整个平面是一个无穷大的铁板;在0时间,每个格点上都有一个单位的热量。经过无穷长时间的传导后,最终这些热量将以单位密度均匀地分布在整个铁板上。下面我们试着求多边形P内的热量。考虑多边形的每一条线段e:它的两个端点均在格点上,因此线段e的中点是整个平面格点的对称中心,因而流经该线段的热量收支平衡(这半边进来了多少那半边就出去了多少),即出入该线段的热量总和实际为0。我们立即看到,P的热量其实完全来自于它自身内部的i个格点(的全部热量),以及边界上的b个格点(各自在某一角度范围内传出的热量)。边界上的b个点形成了一个内角和为(b-2)*180的b边形,从这b个点流入P的热量为(b-2)*180/360 = (b-2)/2 = b/2-1。在再加上i个内部格点,于是S(P)=i+b/2-1。
Part II
一条端点在格点上的线段覆盖的点数:
gcd(dx,dy) dxdy分别为线段横向占的点数和纵向占的点数
证明:自己随便想想就知道了,和这道题的思想有点像:http://www.cnblogs.com/candy99/p/6074673.html
于是就可以做裸题了....
POJ 2954 三角形内部格点数
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=;
const double eps=1e-;
inline int read(){
char c=getchar();int x=,f=;
while(c<''||c>''){if(c=='-')f=-; c=getchar();}
while(c>=''&&c<=''){x=x*+c-''; c=getchar();}
return x*f;
}
inline int sgn(double x){
if(abs(x)<eps) return ;
else return x<?-:;
}
struct Vector{
int x,y;
Vector(int a=,int b=):x(a),y(b){}
};
typedef Vector Point;
Vector operator +(Vector a,Vector b){return Vector(a.x+b.x,a.y+b.y);}
int Cross(Vector a,Vector b){
return a.x*b.y-a.y*b.x;
} int n,x,y,x2,y2,x3,y3,b,s;
int gcd(int a,int b){return b==?a:gcd(b,a%b);}
int main(int argc, const char * argv[]){
while(scanf("%d",&x)!=EOF){
y=read();x2=read();y2=read();x3=read();y3=read();
if(!x&&!y&&!x2&&!y2&&!x3&&!y3) break;
b=s=;
b=gcd(abs(x2-x),abs(y2-y))+gcd(abs(x3-x2),abs(y3-y2))+gcd(abs(x3-x),abs(y3-y));
s=abs(Cross(Vector(x2-x,y2-y),Vector(x3-x,y3-y)));
printf("%d\n",(s-b+)/);
} return ;
}
POJ1265 给一个平面上的简单多边形,求边上的点,多边形内的点,多边形面积。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=;
const double eps=1e-;
inline int read(){
char c=getchar();int x=,f=;
while(c<''||c>''){if(c=='-')f=-; c=getchar();}
while(c>=''&&c<=''){x=x*+c-''; c=getchar();}
return x*f;
}
inline int sgn(double x){
if(abs(x)<eps) return ;
else return x<?-:;
}
struct Vector{
int x,y;
Vector(int a=,int b=):x(a),y(b){}
};
typedef Vector Point;
Vector operator +(Vector a,Vector b){return Vector(a.x+b.x,a.y+b.y);}
int Cross(Vector a,Vector b){
return a.x*b.y-a.y*b.x;
} int n,x,y,b,s;
Point poly[N];
int gcd(int a,int b){return b==?a:gcd(b,a%b);}
int main(int argc, const char * argv[]){
int T=read(),cas=;
while(T--){
b=s=;
n=read();
for(int i=;i<=n;i++){
x=read();y=read();
b+=gcd(abs(x),abs(y));
poly[i]=poly[i-]+Point(x,y);
s+=Cross(poly[i],poly[i-]);
}
s=abs(s);
printf("Scenario #%d:\n",++cas);
printf("%d %d %.1f\n\n",(s+-b)/,b,0.5*s);
} return ;
}
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