BZOJ4926 皮皮妖的递推
第二次乱出题。
为了方便,以m=2为例,把原式变一下形,得f(i)+f(f(i-1))=i
我们先无视掉那个-1,我们发现:诶,这个东西好像斐波那契数列。
具体地,我们用f(n)表示把n用斐波那契数列进行拆分后,每一项的前一项的和。
例:20=13+5+2,f(20)=8+3+1
我们惊奇的发现现在已经可以满足f(i)+f(f(i))=i这个式子了。
但是现在有个-1,怎么办呢,其实很简单,我们定义斐波那契数列第0项为1即可。
证明:设$g_0=g_1=g_2=1,g_i=g_{i-1}+g_{i-2},n=\sum_{i=1}^kg_{a_i}$
我们考虑n-1的形式。
1.
n-1与n的前k-1项一定相同,所以在前k-1项满足这个式子。
2.
当n的第k项为1时,n-1没有第k项,此时1+0=1,满足这个式子。
3.
否则当n的第k项不为1时,你会发现$f(f(g_{a_k}-1))=g_{a_{k-2}}$
这个东西不好说明,举个例子
$g_{a_k}=34=21+8+3+1+1$
$g_{a_k}-1=21+8+3+1$
$f(f(g_{a_k}))=8+3+1+1=13=g_{a_{k-2}}$
这就是为什么我要把第0项设成1的原因,所以第k项也满足。
证毕。
当m更大时,只需把g的递推式改为$g_i=g_{i-1}+g_{i-m}$即可。
#include <cstdio> int m,t;
long long n,a1,f[]; int main() {
scanf("%lld%d",&n,&m);
for(int i=;i<=m;i++) f[i]=;
for(int i=m+;;i++) {
f[i]=f[i-]+f[i-m];
if(f[i]>n) {t=i-; break;}
}
for(int i=t;n;i--) if(f[i]<=n) n-=f[i],a1+=f[i-];
printf("%lld",a1);
return ;
}
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