2021昆明B
容斥 + 矩形面积并 + 状压dp
B-Blocks_第46届ICPC亚洲区域赛(昆明)(正式赛) (nowcoder.com)
题意
给出一个矩形A \((0,0),(W,H)\), 给出 \(n\;(1<=n<=10)\) 个矩形 \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\) (坐标分别为左下角,右上角)
每次在这 n 个矩形中等概率选择 1 个,给这个区域涂色,求能将 A 区域完全涂满的期望次数
思路
看数据范围可知可能是状压dp,且因为是期望dp,倒推
设状态 \(s\) 为已经涂过色的区域,如 101 表示第 0,2 个区域被涂过了
\(f[s]\) 表示从 \(s\) 开始,还要期望几次能涂满 A
转移:枚举 \(s\) 中 0 的位置 i,并且记录共有 cnt 个
\(now+=f[s|2^i]\)
\(f[s]=\frac {1}n*now+\frac {n-cnt}n*f[s]\)
现在的问题是求出 dp 的起点,即有哪些状态是已经把 A 涂满的,记为 \(f[s]=0\)
求若干矩形的面积并是否能覆盖 A,但并集不好处理,可以先求出 \(And[s]\) 表示 \(s\) 集合的面积交,用容斥求出面积并 \(Or[s]\)
通过 \(And[s]\) 求 \(Or[s]\) 的过程可以枚举子集,\(O(3^n)\)
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define endl "\n"
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 10;
const int mod = 998244353;
int n;
struct Node
{
ll x1, y1;
ll x2, y2;
}a[N];
ll inv[N];
ll f[1 << N];
ll And[1 << N], Or[1 << N];
ll H, W;
ll qmi(ll a, ll b)
{
ll ans = 1;
while(b)
{
if (b & 1)
ans = ans * a % mod;
b >>= 1;
a = a * a % mod;
}
return ans % mod;
}
void presolve()
{
for (int i = 1; i <= n; i++)
inv[i] = qmi(i, mod - 2);
for (int s = 0; s < 1 << n; s++)
{
ll X1 = 0, Y1 = 0, X2 = W, Y2 = H;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
if (!(s >> i & 1))
continue;
auto [x1, y1, x2, y2] = a[i];
X1 = max(X1, x1), Y1 = max(Y1, y1);
X2 = min(X2, x2), Y2 = min(Y2, y2);
}
And[s] = max(0ll, X2 - X1) * max(0ll, Y2 - Y1);
}
for (int s = 0; s < 1 << n; s++)
{
Or[s] = 0;
for (int ns = s; ns; ns = (ns - 1) & s)
Or[s] += And[ns] * (__builtin_parity(ns) ? 1 : -1);
}
}
void solve()
{
ll tot = H * W;
if (Or[(1 << n) - 1] < tot)
{
cout << -1 << endl;
return;
}
for (int s = (1 << n) - 1; s >= 0; s--)
{
if (Or[s] == tot)
{
f[s] = 0;
continue;
}
ll now = n, cnt = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
if (s >> i & 1)
continue;
now = (now + f[s | (1 << i)]) % mod;
cnt++;
}
f[s] = now * inv[cnt] % mod;
}
cout << f[0] << endl;
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
int T;
cin >> T;
while(T--)
{
cin >> n;
cin >> H >> W;
for (int i = 0; i < n; i++)
cin >> a[i].x1 >> a[i].y1 >> a[i].x2 >> a[i].y2;
presolve();
solve();
}
return 0;
}
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