69. Sqrt(x)
题目:
Implement int sqrt(int x)
.
Compute and return the square root of x.
链接: http://leetcode.com/problems/sqrtx/
题解:
求平方根。
二分法, Time Complexity - O(logn), Space Complexity - O(1)
public class Solution {
public int mySqrt(int x) {
if(x <= 1)
return x;
int lo = 0, hi = x; while(lo <= hi) {
int mid = lo + (hi - lo) / 2;
if(mid < x / mid)
lo = mid + 1;
else if (mid > x / mid)
hi = mid - 1;
else
return mid;
} return hi;
}
}
牛顿法
public class Solution {
public int sqrt(int x) {
if (x == 0) return 0;
double lastY = 0;
double y = 1; while (y != lastY) {
lastY = y;
y = (y + x / y) / 2;
} return (int)(y);
}
}
Bit Manipulation
public class Solution {
public int mySqrt(int x) {
long ans = 0;
long bit = 1l << 16; while(bit > 0) {
ans |= bit;
if (ans * ans > x) {
ans ^= bit;
}
bit >>= 1;
} return (int)ans;
}
}
Follow up - 求实数的平方根。 设置一个ε,然后根据差值计算
二刷:
可以用二分法或者牛顿法。
Java:
二分法:
二分法写得比较古怪,有点像背出来的, 为了避免Integer.MAX_VALUE用了 x / mid。mid不会为0,所以可以放心大胆使用。 最后返回结果时要返回的是hi, 这是 lo ^2会正好比x大。
Time Complexity - O(logn), Space Complexity - O(1)
public class Solution {
public int mySqrt(int x) {
if (x <= 1) {
return x;
}
int lo = 0, hi = x;
while (lo <= hi) {
int mid = lo + (hi - lo) / 2;
if (mid == x / mid) {
return mid;
} else if (mid < x / mid) {
lo = mid + 1;
} else {
hi = mid - 1;
}
}
return hi;
}
}
牛顿法:
牛顿法也可以用来处理double的情况,只要把条件改为y - lastY > epsilon就可以了。一开始设x2 = a,则转化为方程y = x2 - a, 接下来右xn+1 = xn - f(x) / f'(x)。 新的y (切线逼近)等于 xn+1 = xn - ( x2- a ) / (y的导数 = 2x),所以简化一下就等于xn+1 = (xn + a / xn) / 2,用切线进行不断逼近。
Time Complexity - O(logn), Space Complexity - O(1)
public class Solution {
public int mySqrt(int x) {
if (x <= 1) {
return x;
}
double lastY = x / 2;
double y = (lastY + x / lastY) / 2;
while (y - lastY != 0) {
lastY = y;
y = (lastY + x / lastY) / 2;
}
return (int)y;
}
}
三刷:
Java:
二分法:
public class Solution {
public int mySqrt(int x) {
if (x <= 1) return x;
int lo = 0, hi = x;
while (lo <= hi) {
int mid = lo + (hi - lo) / 2;
if (mid == x / mid) return mid;
else if (mid < x / mid) lo = mid + 1;
else hi = mid - 1;
}
return hi;
}
}
牛顿法:
再次详述一下牛顿法。
牛顿法主要是使用切线来不断逼近方程根的方法。
- 首先我们有x2 = a,移动一下我们得到方程x2 - a = 0。
- 我们假设函数 f(x) = x2 - a, 则这个方程的切线 f'(x) = 2x,也就是切线的斜率为2
- 利用直线的两点式方程我们可以得到 xn+1 - xn = ( 0 - f(xn) ) / f'(xn), 这里新的逼近点为(xn+1 , 0),即切线与x轴的焦点, 旧的逼近点为(xn , f(xn ))。
- 这里我们做一下变量代换, f'(x) = 2x, f(x) = x2 - a
- 我们可以得到 xn+1 - xn = (a - xn2) / 2 * xn , 简化一下就变成了 xn+1 = (xn + a / xn) / 2
- 在 xn+1 - xn 的差大于一个误差常数Epsilon的时候,我们就可以用while循环来不断使用切线迭代逼近方程x2 - a = 0的根, 最后就可以成功求得一个在Epsilon误差内的,方程的解。
public class Solution {
public int mySqrt(int x) {
if (x <= 1) {
return x;
}
double lastY = 1;
double y = (lastY + x / lastY) / 2;
while (y - lastY != 0) {
lastY = y;
y = (lastY + x / lastY) / 2;
}
return (int)y;
}
}
4/4/2016: 从wentao处又学习了很多东西。他是数学PHD大牛,推理和论证功力简直一级棒。
Reference:
http://www.matrix67.com/blog/archives/361
https://en.wiki2.org/wiki/Methods_of_computing_square_roots
http://www.math.harvard.edu/library/sternberg/slides/lec1.pdf
http://www.cnblogs.com/bigrabbit/archive/2012/09/25/2702174.html
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