Counting rectangles

By counting carefully it can be seen that a rectangular grid measuring 3 by 2 contains eighteen rectangles:

Although there exists no rectangular grid that contains exactly two million rectangles, find the area of the grid with the nearest solution.


数长方形

如果数得足够仔细,能看出在一个3乘2的长方形网格中包含有18个不同大小的长方形,如下图所示:

尽管没有一个长方形网格中包含有恰好两百万个长方形,但有许多长方形网格中包含的长方形数目接近两百万,求其中最接近这一数目的长方形网格的面积

解题

参考博客

有下面内容:

对于任意矩形M*N

其中1*1的矩阵有M*N个

1*2的矩阵有M*(N-1)个

2*1的矩阵有(M-1)*N个

实际上只要确定小矩阵左上角顶点在大矩形中的位置,这个矩阵的位置就唯一确定了

所有在任意矩形M*N中,矩阵i*j有(M-i+1)*(N-j+1)个

所以对于M*N的矩阵总的矩阵数量是:

        int num = 0;
for(int i =1;i<= m;i++){
for(int j =1;j<= n;j++){
num += (m-i + 1)*(n - j+1);
}
}

更让人想不到是是直接计算矩阵的数量:

num = (m+1)*m*(n+1)*n/4

Java

package Level3;
import java.util.Random; public class PE085{ static void run() {
int limit = 100;
int close = Integer.MAX_VALUE;
int area = 0;
for(int m =1;m< limit ;m++){
for(int n = 1;n< limit ;n++){
int num = grid_num(m,n);
if (num>2000000)
break;
if( Math.abs(num - 2000000 ) < Math.abs(close - 2000000)){
close = num;
area = n*m;
}
}
}
System.out.println(area);
}
public static int grid_num2(int m , int n){
int num = 0;
num = (m+1)*m*(n+1)*n/4;
return num;
}
// 2772
// running time=0s0ms
public static int grid_num(int m , int n){
int num = 0;
for(int i =1;i<= m;i++){
for(int j =1;j<= n;j++){
num += (m-i + 1)*(n - j+1);
}
}
return num;
}
// 2772
// running time=0s20ms public static void main(String[] args){
long t0 = System.currentTimeMillis();
run();
long t1 = System.currentTimeMillis();
long t = t1 - t0;
System.out.println("running time="+t/1000+"s"+t%1000+"ms");
}
}

你说是不是很流氓,这个规律,我怎么那么聪慧的会发现?

Python

# coding=gbk
import time as time t0 = time.time() def run():
limit = 100
close = 0
area = 0
for m in range(1,limit):
for n in range(1,limit):
num = grid_num(m,n)
if num>2000000:break
if abs(num - 2000000) < abs(close -2000000):
close = num
area = n*m
print area def grid_num(m ,n):
count = 0
for i in range(1,m+1):
for j in range(1,n+1):
count += (m-i+1)*(n-j+1)
return count run()
t1 = time.time()
print "running time=",(t1-t0),"s" #
# running time= 1.19499993324 s

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