题意:选出最小路径覆盖图中所有点,路径可以交叉,也就是允许路径有重复的点。

  分析:这个题的难点在于如何解决有重复点的问题~方法就是使用Floyd求闭包,就是把间接相连的点直接连上边,然后就是求最小路径覆盖了。我来大概解释一下为什么是对的,首先我们要明确,当我们重复利用一个点的时候,一定是有两个比较良好的路径相交了,而二分图是不允许这样的情况存在的,因为那必然存在了一个点有一个以上的出度或者入度了,而怎么避免这个问题呢,看下面的图:

  这就是针对这个问题的一个典型的模型,如果使用正常二分图,求得的匹配值为2,路径数为3(例如:2-3-5,1,4),但是如果我们把3用两次,那么求得的答案就是2了(例如:2-3-5,1-3-4).

so,我们的解决办法就出来了,当(2-3-5)这个路径被选择的时候,我们在(1-3-4)这个路径时只要把3无视掉,直接在1-4之间建一条边就可以了,那样1-4就匹配成功了。这样所有含有交叉点的路径,都可以先选择一个路径,然后直接跨过交叉点连接一个,它所代表的仍然是经过交叉点的路径。

  有人也许会问,Floyd会压缩所有的边,会不会导致错误呢? 不会,比如这个图(1-4)和(1-5)都有边,在匹配中二分图是最大匹配,他会优先获得较多的匹配,最后无法找到增广路,才会考虑我们连接的边,不要因为边都被压缩了有一种答案会变小的错误。代码如下:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define maxn 510
int maps[maxn][maxn],vis[maxn],link[maxn];
int n,m;
void floyd()
{
for(int i = ; i <= n; i++)
{
for(int j = ; j <= n; j++)
{
if(!maps[i][j])
{
for(int k = ; k <= n; k++)
{
if(maps[i][k] && maps[k][j])
{
maps[i][j] = ;
break;
}
}
}
}
}
}
bool dfs(int u)
{
for(int i = ; i <= n; i++)
{
if(maps[u][i] && !vis[i])
{
vis[i] = ;
if(link[i] == - || dfs(link[i]))
{
link[i] = u;
return true;
}
}
}
return false;
}
int slove()
{
int ans = ;
memset(link,-,sizeof(link));
for(int i = ; i <= n; i++)
{
memset(vis,,sizeof(vis));
if(dfs(i)) ans++;
}
return ans;
}
int main()
{
int x,y;
while(~scanf("%d%d",&n,&m))
{
if(!n && !m) break;
memset(maps,,sizeof(maps));
while(m--)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
maps[x][y] = ;
}
floyd();
printf("%d\n",n-slove());
}
return ;
}

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