DeepLearning (三) 预处理：主成分分析与白化

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PCA算法前面在前面的博客中已经有介绍，这里简单在描述一下，更详细的PCA算法请参考我的博客： 机器学习实战ByMatlab（二）PCA算法

PCA 的主要计算步骤

1.数据预处理，使得每一维数据都有相同的均值0 
2.计算数据的协方差矩阵，Σ=1m∑mi=1(x(i))(x(i))TΣ=1m∑i=1m(x(i))(x(i))T 
3.对协方差矩阵 ΣΣ 进行奇异值分解，得到特征值 uu 以及特征向量 dd 
4.旋转数据 xrot=UTxxrot=UTx 
5.选择主成分的个数 kk 
6.数据降维 x′(i)=x(i)rot,1−k=uT1−kx(i)x′(i)=xrot,1−k(i)=u1−kTx(i)

PCA 的另外一种解释是：xrotxrot 是一个 nn 维向量，其中前 kk 个成分可能比较大，而后几个成分可能比较小，PCA 算法做的其实就是丢弃 xrotxrot 后面 n−kn−k 个较小的成分，即将这些成分的值近似为0，然后仅用这前 kk 个成分来定义 kk 维向量 x′x′

还原近似数据

当我们得到降维后的数据 x′x′ , 我们想还原原来的数据，只需要左乘 u 即可，即 x=Uxrotx=Uxrot

选择主成分的个数

关于PCA中主成分的个数 kk 的选择:

如果 kk 过大，则数据压缩率不高，在极限情况 k=nk=n 时，等于是使用原始数据； 
如果 kk 过小， 则数据的近似误差太大

我们通常考虑的是不同 kk 值可以保留的方差百分比，具体来说，如果 k=nk=n ,那么我们得到的是对数据的完美近似，也就是保留了100%的方差，即原始数据的所有变化都被保留下来；相反，如果 k=0k=0 ,那等于是使用零向量来逼近输入数据，也就是只有0%的方差被保留下来。

一般而言，设 λ1,λ2,...,λnλ1,λ2,...,λn 表示 ΣΣ 的特征值（由大到小排序，在matlab中可由 svd 函数得到），使得 λjλj 为对应的特征向量 ujuj 的特征值，那么如果我们保留前 kk 个成分，则保留的方差百分比可计算为：

 

∑kj=1λj∑nj=1λj∑j=1kλj∑j=1nλj

以处理图像数据为例，一个惯常的经验法则是选择 kk 以保留99%的方差，换句话说，我们选取满足以下条件的最小 kk值：

 

∑kj=1λj∑nj=1λj≥99%∑j=1kλj∑j=1nλj≥99%

对图像数据应用PCA算法

假设我们的特征为 x1,x2,...,xnx1,x2,...,xn ,对于非图像数据的处理，我们一般要计算每个特征 xjxj 的均值和方差，然后将其取值范围规整化为零均值和单位方差。不过对于大多数自然图像来说，由于其自身的平稳性，图像任一部分的统计性质都应该和其它部分相同，因此我们不用进行方差归一化。

所以对图像进行处理时，步骤如下：

1.求特征均值： u(i):=1n∑nj=1x(i)ju(i):=1n∑j=1nxj(i) 
2.零均值处理：x(i)j:=x(i)j−u(i)jxj(i):=xj(i)−uj(i) for all jj

白化

白化其实跟PCA算法还是挺相似的。举例来说，假设训练数据是图像，由于图像中相邻像素之间具有很强的相关性，所以用于训练时输入是冗余的。白化的目的就是降低输入的冗余性；更正式的说，我们希望通过白化过程使得学习算法的输入具有如下性质：

1.特征之间相关性较低 
2.所有特征具有相同的方差(图像处理中我们一般设置为单位方差)

在PCA算法中，我们对数据进行降旋转 x(i)rot=UTx(i)xrot(i)=UTx(i) 时，已经消除了输入特征 x(i)x(i) 之间的相关性,举个例子：假如我们的二维数据图形化如下：

显然这是一个二维数据分布，其中横轴 x1x1 跟竖轴 x2x2 之前呈现正相关关系，即 x2x2 随着 x1x1 的增大而增大，然后我们将其投影到特征向量上 x(i)rot=UTx(i)xrot(i)=UTx(i) ，得到如下图：

此时 x2x2 已经不随着 x1x1 的增大而增大了，也就是说 x1x1 与 x2x2 消除了相关性。

特征单位方差处理

为了使每个输入特征具有单位方差，我们可以直接使用 1λi√1λi 作为缩放因子来缩放每个特征 xrot,ixrot,i ,具体地，我们定义白化后的数据如下：

 

xPCAwhite,i=xrot,iλi−−√xPCAwhite,i=xrot,iλi

此时的 xPCAwhite,ixPCAwhite,i 是数据经过PCA白化后的版本, 其不同的特征之间不相关并且具有单位方差。

ZCA 白化

假如 RR 是任意正交矩阵，即满足 RRT=RTR=IRRT=RTR=I ,那么 RxPCAwhiteRxPCAwhite仍然具有单位协方差。在ZCA白化中，令 R=UR=U。我们定义ZCA白化的结果为：

 

xZCAwhite=UxPCAwhitexZCAwhite=UxPCAwhite

正则化

实践中需要实现PCA白化或ZCA白化时，有时一些特征值 λiλi在数值上接近于0，这样在缩放步骤时我们除以 λ−−√iλi将导致除以一个接近0的值；这可能使数据上溢 (赋为大数值)或造成数值不稳定。因而在实践中，我们使用少量的正则化实现这个缩放过程，即在取平方根和倒数之前给特征值加上一个很小的常数 ϵϵ :

 

xPCAwhite,i=xrot,iλi+ϵ−−−−−√xPCAwhite,i=xrot,iλi+ϵ

当 xx 在区间[-1,1]上时, 一般取值为 ϵ≈10−5ϵ≈10−5 
对图像来说, 这里加上 ϵϵ，对输入图像也有一些平滑(或低通滤波)的作用。这样处理还能消除在图像的像素信息获取过程中产生的噪声，改善学习到的特征。

matlab 实例

1.图像加载 12x12 的patch，共10000个，转换为 144x10000的矩阵，即数据是144维

x = sampleIMAGESRAW();

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随机显示200个图像块，如下图：

2.零均值化

meanVal = mean(x);
x = bsxfun(@minus,x,meanVal);

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此时 xx 为零均值数据

3.求协方差矩阵，并对协方差矩阵进行奇异值分解，再对数据进行特征向量投影

xRot = zeros(size(x));
[u,d] = svd(x*x'/size(x,2));
xRot = u' * x;

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4.PCA 检测，计算协方差矩阵

covar = zeros(size(x, 1));
covar = xRot*xRot'/size(xRot,2);

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此时的协方差矩阵为144x144的矩阵，显示为图像如下：

对角线为数据的自相关，也就是方差，值最大，所以颜色最亮，两边为协方差，值比较小，故颜色较暗，这里为蓝色。

5. 寻找能够保留90%方差的最小 kk 值

k = 0;
dVal = diag(d); % 列向量
sumDVal = sum(dVal);
kP = 0;
while kP<0.9
    k = k+1;
    kP = sum(dVal(1:k)) / sumDVal;
end

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此时 kk 为43，当设置为保留 99% 的方差时，kk 为116.

6. PCA降维

xHat = zeros(size(x));
xHat = u(:,1:k) * xRot(1:k,:);

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将 144维的数据降维到43维，并用43维数据还原图像如下：

7. PCA白化与规则化

epsilon = 0.1;
xPCAWhite = zeros(size(x));
xPCAWhite =  bsxfun(@rdivide,xRot,sqrt((dVal+epsilon)));

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8. 检测PCA白化是否正确，计算协方差矩阵并显示

covar = xPCAWhite * xPCAWhite' / size(xPCAWhite,2);

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白化后的协方差矩阵图像如下：

如果没有进行规则化，也就是我们将 ϵϵ 设置为0，此时白化后的协方差矩阵如下图：

9.ZCA白化

xZCAWhite = zeros(size(x));
xZCAWhite = u*xPCAWhite;

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ZCA白化后图像如下：