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Dijkstra算法是处理单源最短路径的有效算法,但它局限于边的权值非负的情况,若图中出现权值为负的边,Dijkstra算法就会失效,求出的最短路径就可能是错的。

这时候,就需要使用其他的算法来求解最短路径,Bellman-Ford算法就是其中最常用的一个。该算法由美国数学家理查德•贝尔曼(Richard Bellman, 动态规划的提出者)和小莱斯特•福特(Lester Ford)发明。

适用条件&范围:

单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v);

有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图);

边权可正可负(如有负权回路输出错误提示);

差分约束系统;

Bellman-Ford算法的流程如下:
给定图G(V, E)(其中V、E分别为图G的顶点集与边集),源点s,数组Distant[i]记录从源点s到顶点i的路径长度,初始化数组Distant[n]为, Distant[s]为0;

以下操作循环执行至多n-1次,n为顶点数:
对于每一条边e(u, v),如果Distant[u] + w(u, v) < Distant[v],则另Distant[v] = Distant[u]+w(u, v)。w(u, v)为边e(u,v)的权值;
若上述操作没有对Distant进行更新,说明最短路径已经查找完毕,或者部分点不可达,跳出循环。否则执行下次循环;

为了检测图中是否存在负环路,即权值之和小于0的环路。对于每一条边e(u, v),如果存在Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]的边,则图中存在负环路,即是说改图无法求出单源最短路径。否则数组Distant[n]中记录的就是源点s到各顶点的最短路径长度。

可知,Bellman-Ford算法寻找单源最短路径的时间复杂度为O(V*E).

Bellman-Ford算法可以大致分为三个部分
第一,初始化所有点。每一个点保存一个值,表示从原点到达这个点的距离,将原点的值设为0,其它的点的值设为无穷大(表示不可达)。
第二,进行循环,循环下标为从1到n-1(n等于图中点的个数)。在循环内部,遍历所有的边,进行松弛计算。
第三,遍历途中所有的边(edge(u,v)),判断是否存在这样情况:
d(v) > d (u) + w(u,v)
则返回false,表示途中存在从源点可达的权为负的回路。
 
之所以需要第三部分的原因,是因为,如果存在从源点可达的权为负的回路。则 应为无法收敛而导致不能求出最短路径。

测试代码如下:(下面为有向图的Bellman-Ford算法。。。。。)

  1. #include<iostream>
  2. #include<cstdio>
  3. using namespace std;
  4. #define MAX 0x3f3f3f3f
  5. #define N 1010
  6. int nodenum, edgenum, original; //点,边,起点
  7. typedef struct Edge //边
  8. {
  9. int u, v;
  10. int cost;
  11. }Edge;
  12. Edge edge[N];
  13. int dis[N], pre[N];
  14. bool Bellman_Ford()
  15. {
  16. for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //初始化
  17. dis[i] = (i == original ? 0 : MAX);
  18. for(int i = 1; i <= nodenum - 1; ++i)
  19. for(int j = 1; j <= edgenum; ++j)
  20. if(dis[edge[j].v] > dis[edge[j].u] + edge[j].cost) //松弛(顺序一定不能反~)
  21. {
  22. dis[edge[j].v] = dis[edge[j].u] + edge[j].cost;
  23. pre[edge[j].v] = edge[j].u;
  24. }
  25. bool flag = 1; //判断是否含有负权回路
  26. for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)
  27. if(dis[edge[i].v] > dis[edge[i].u] + edge[i].cost)
  28. {
  29. flag = 0;
  30. break;
  31. }
  32. return flag;
  33. }
  34. void print_path(int root) //打印最短路的路径(反向)
  35. {
  36. while(root != pre[root]) //前驱
  37. {
  38. printf("%d-->", root);
  39. root = pre[root];
  40. }
  41. if(root == pre[root])
  42. printf("%d\n", root);
  43. }
  44. int main()
  45. {
  46. scanf("%d%d%d", &nodenum, &edgenum, &original);
  47. pre[original] = original;
  48. for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)
  49. {
  50. scanf("%d%d%d", &edge[i].u, &edge[i].v, &edge[i].cost);
  51. }
  52. if(Bellman_Ford())
  53. for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //每个点最短路
  54. {
  55. printf("%d\n", dis[i]);
  56. printf("Path:");
  57. print_path(i);
  58. }
  59. else
  60. printf("have negative circle\n");
  61. return 0;
  62. }

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