几道noip2018提高组初赛的题

以下做法来均自llj @Nicodafagood

一、单项选择题

7. 在一条长度为 1 的线段上随机取两个点,则以这两个点为端点的线段的期望

长度是( )。
A. 1 / 2
B. 1 / 3
C. 2 / 3
D. 3 / 5

从0～L任选一点x,与0到x的线段长度期望为

$\frac{\int_0^Lx}{L}=(\frac{1}{2}L^2-\frac{1}{2}0^2)/L=\frac{L}{2}$

于是从0～1任选一点x，然后再选一点y与x的构成线段的期望长度为

$[\int_0^1( \frac{1-x}{1}*\frac{1-x}{2}+\frac{x}{1}*\frac{x}{2})]/1$

$=\int_0^1( x^2-x-\frac{1}{2})$

$=(\frac{1}{3}*1^3-\frac{1}{2}*1^2-\frac{1}{2}*1)-(0)$

$=\frac{1}{3}$

故选C

9. 假设一台抽奖机中有红、蓝两色的球,任意时刻按下抽奖按钮,都会等概率
获得红球或蓝球之一。有足够多的人每人都用这台抽奖机抽奖,假如他们的
策略均为:抽中蓝球则继续抽球,抽中红球则停止。最后每个人都把自己获
得的所有球放到一个大箱子里,最终大箱子里的红球与蓝球的比例接近于
( )。
A. 1 : 2
B. 2 : 1
C. 1 : 3
D. 1 : 1

等价于一个生物老师讲过的模型：某地区重男轻女，生了女孩就继续生直到生了男孩为止，这样并不会使人口性别失衡。

设E(x)为生第一个男孩之前生的女孩个数的期望

$E(x)=\frac{1}{2}*0+\frac{1}{2}*(1+E(x))$

解得$E(x)=1$

故选D

三、问题求解

2. 方程 a*b = (a or b) * (a and b),在 a,b 都取 [0, 31] 中的整数时,
共有_____组解。(*表示乘法;or 表示按位或运算;and 表示按位与运算)

发现当且仅当a或者b中一个是另一个的子集时成立。

证明：

$a\ or \ b= \frac{(a+b+(a \ xor\ b))}{2}$

$a\ and \ b= \frac{(a+b-(a \ xor\ b))}{2}$

$(a\ or \ b)*(a\ and \ b)= \frac{(a+b)^2-(a \ xor\ b)^2}{4}$

当$(a\ or \ b)*(a\ and \ b)= a*b$时

$a*b= \frac{(a+b)^2-(a \ xor\ b)^2}{4}$

$(a-b)^2=(a \ xor\ b)^2$

得证