[NOIP2019模拟赛]HC1147 时空阵
题目描述:
幽香这几天学习了魔法,准备建造一个大型的时空传送阵。
幽香现在可以在幻想乡的n个地点建造一些传送门,如果她建造了从地点a与地点b之间的传送门,那么从a到b和从b到a都只需要单位1的时间。
同时这些地点之间在地理上是非常遥远的,因此来往他们必须使用传送门。
现在幽香想要问你,有多少种建造传送门的方案,使得地点1和地点n之间的最短距离恰好为k?两个方案不同当且仅当建造的传送门的集合不同。不能建造节点到自身的传送门,两个点之间也最多造一个传送门。
分析:
DP...
然而考场上没时间了,只打了20pts(k==1)
为了防止变量名冲突,题面中的k在代码中都用m代替!!!
首先:显然这道题的合法路径是一层一层的节点组成的
然后就可以DP了(话说考场上状态设计都设计出来了,转移没时间了...)
设f[i][j][k]表示当前进行到第i层,总共使用了j个节点,第i层使用了k个节点
显然这个可以有f[i-1][j-k][s]转移过来,我们只要枚举s就可以了,现在我们只要计算f[i-1][j-k][s]的系数就好了
分类讨论:
当i<m时:
①可以当前层内部连边,也就是$2^{C_k^2}$种可能
②当前层与上一层连边,且当前层的所有点至少有一条边连出去,也就是$(\sum\limits_{p=1}^{s}C_s^p-1)^k$
tip:上式子用二项式定理可以化简为$(2^{s}-1)^k$
③注意到当前这k个点是从剩下的n-j+k-1(最后减一是因为第n个点必须放在第m层)所以从这里面选k个点,方案数为$C_{n-j+k-1}^k$
综上:$$f[i][j][s]=\sum f[i-1][j-k][s]*(2^s-1)^k*C_{n-j+k-1}^k*C_k^2$$
当i==m时
注意到只有第③个条件需要改变,也就是说第n个点肯定在这一层,所以只要在n-j+k-1中选择k-1的点即可,方案数为$C_{n-j+k-1}^{k-1}$
即:$$f[i][j][s]=\sum f[i-1][j-k][s]*(2^s-1)^k*C_{n-j+k-1}^{k-1}*C_k^2$$
预处理一下组合数,及时取模,结合快速幂就好了
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
inline int read(){
int ans=,f=;char chr=getchar();
while(!isdigit(chr)){if(chr=='-')f=-;chr=getchar();}
while(isdigit(chr)) {ans=(ans<<)+(ans<<)+chr-;chr=getchar();}
return ans*f;
}const int P = 1e9+;
int n,m,f[][][],ans,cc[][];
int ksm(int x,int p){
int ans=;
for(;p;p>>=,x=x*x%P) if(p&) ans=ans*x%P;
return ans;
}
int C(int x,int y){
int mul=;
for(int i=;i<=y;i++) mul=mul*i%P;
for(int i=;i<=x-y;i++) mul=mul*i%P;
int t=ksm(mul,P-);
mul=;
for(int i=;i<=x;i++) mul=mul*i%P;
mul=mul*t%P;
}
inline void Add(int &x,int y){x=x+y;if(x>=P)x-=P;}
inline void Solve(){
f[][][]=;
for(int i=;i<=m;++i)
for(int j=;j<=n;++j)
for(int k=;k<=j;k++){
for(int s=;s<=j-k;s++)
if(i<m)//第一种
Add(f[i][j][k],f[i-][j-k][s]*ksm(,(k-)*k/)%P*cc[n-j+k-][k]%P*ksm(ksm(,s)-,k)%P);
else//第二种
Add(f[i][j][k],f[i-][j-k][s]*ksm(,(k-)*k/)%P*cc[n-j+k-][k-]%P*ksm(ksm(,s)-,k)%P);
}
for(int i=m+;i<=n;i++)
for(int j=;j<=n;j++)
Add(ans,f[m][i][j]*ksm(,(n-i)*(n-i-)/+j*(n-i)%P)%P);
cout<<ans<<endl;
}
signed main(){
freopen("timegate.in","r",stdin);
freopen("timegate.out","w",stdout);
for(int i=;i<=;i++)for(int j=;j<=i;j++)cc[i][j]=C(i,j);//预处理组合数
n=read(),m=read();
Solve();
return ;
}
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