JZOJ5988 珂学计树题

题意

liu_runda曾经是个喜欢切数数题的OIer，往往看到数数题他就开始刚数数题.于是liu_runda出了一个数树题.听说OI圈子珂学盛行,他就在题目名字里加了珂学二字.一开始liu_runda想让选手数n个节点的不同构的二叉树的数目.
但是liu_runda虽然退役已久,也知道答案就是Catalan(n),这太裸了,出出来一定会被挂起来裱.因此他把题目加强.我们从二叉树的根节点出发一直向右儿子走到不能再走为止,可以找到最右下方的节点v,这个节点是没有右儿子的.
如果根节点和v不相同,我们就把根节点和根节点的右儿子断开,让根节点的右儿子成为新的根节点,同时把根节点接在v的右儿子位置.根节点的左儿子此时仍然挂在根节点上.
这样的操作可以进行多次.如果两棵二叉树能通过若干次这样的操作变得同构,我们也认为它们是同构的.
问在这种新的定义下有多少n个节点的本质不同的二叉树.答案可能很大,所以只需要输出对998244353取模后的结果

做法

考虑把二叉树定义一种与括号序列一一映射的关系："(左子树)，右子树"，\(n\)个点映射为\(2n\)长度的合法括号序列
这样按题意连接，相当于把前面第一个括号整个部分移动到序列的右边
将其本质不同一一映射为：\(01\)序列(\(n\)个\(0\),\(n\)个\(1\))循环移位本质不同

置换有\(2n\)个，枚举循环移位\(i\)，将序列划分为\((2n,i)\)个等价类

• 根据裴蜀定理，\(i\)为奇数时不合法
• \(i\)为偶数时，方案数为\(\binom{(2n,i)}{(2n,i)/2}\)

则答案为\(\frac{1}{2n}\sum\limits_{i=0}^{2n-1} \binom{(2n,i)}{(2n,i)/2}\)

题外话

这题挺简单的，考虑清楚第一步就好了（这里纠结了很久）