（转）博弈 SG函数

此文为以下博客做的摘要：

https://blog.csdn.net/strangedbly/article/details/51137432

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1、定义P-position和N-positon

P表示Previous，N表示Next。

即上一个移动的人有必胜策略的局面是P-position，“先手必败”或“后手必胜”，现在移动的人有必胜策略的局面是N-positon，“后手必败”或“先手必胜”。下面为更严谨的定义：

1、无法进行任何移动的局面（即terminal position）是P-position；

2、可以移动到P-position的局面是N-position；

3、所有移动都导致N-position的局面是P-position。

根据定义，不重现局面，那么positions的集合可以进行拓扑排序，并且能通过定义判断为P-position还是N-position。

2、Nim游戏

对于一个Nim游戏的局面（a1, a2, ...an)，它是P-position当且仅当 a1^a2^...^an = 0，其中 ^ 表示异或运算。

要证明这个定理，基本上是证明这种运算符合上述position的定义。即证明三个命题：1、这个判断将所有无法移动的局面判为P-position；2、被判为N-position的局面一定可以移动到某个P-position；3、被判为P-position的局面无法移动到某个P-position。

第一个命题：无法移动的局面只有全为0，即异或仍为0。

第二个命题：对于某个局面(a1,a2,...,an)，若a1^a2^...^an!=0，一定存在某个合法的移动，将ai改变成ai'后满足a1^a2^...^ai'^...^an=0。不妨设a1^a2^...^an=k，则一定存在某个ai，它的二进制表示在k的最高位上是1（否则k的最高位那个1是怎么得到的）。这时ai^k<ai一定成立。则我们可以将ai改变成ai'=ai^k，此时a1^a2^...^ai'^...^an=a1^a2^...^an^k=0。

第三个命题：对于某个局面(a1,a2,...,an)，若a1^a2^...^an=0，一定不存在某个合法的移动，将ai改变成ai'后满足a1^a2^...^ai'^...^an=0。因为异或运算满足消去率，由a1^a2^...^an=a1^a2^...^ai'^...^an可以得到ai=ai'。所以将ai改变成ai'不是一个合法的移动。证毕。

3、Sprague-Grundy函数

首先给出这个函数适用范围，貌似所有博弈的题目都是符合这个范围。现在来研究似乎更为一般的游戏：给定一个有向无环图和一个其实顶点上的一枚棋子，两名选手交替将这棋子沿有向边移动，无法移动者判负。事实上，这个游戏可以认为是所有Impartial Combinatorial Games的抽象模型。即任何一个ICG都可以通过把每个局面看成一个顶点，对每个局面和它的子局面连一条有向边来抽象成这个“有向图游戏”。

首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每个顶点的Sprague-Garundy函数g如下：g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继 }。

来看一下SG函数的性质。首先，所有的terminal position所对应的顶点，也就是没有出边的顶点，其SG值为0，因为它的后继集合是空集。下面为原作图

(pic1)

对于一个g(x) = 0的顶点x，它的所有后继 y 都满足 g(y) != 0。

对于一个g(x) != 0的顶点，必定存在一个后继 y 满足 g(y) = 0。

即顶点 x 代表的position为P-position，当且仅当 g(x) = 0。相应地N-position为 g(x) != 0。所以有向无环图的每个顶点SG值能够计算出来，就能找到每种局面的必胜策略。但SG函数的用途远没有这么简单。如果将有向图游戏变复杂，比如，有向图上不止有一枚棋子，而是有n枚，每次可以人选一颗移动，这时怎么找必胜策略？

考虑一下顶点的SG值的意义。当g(x) = k时，表明对于任意一个 0 <= i < k，都存在x的一个后继 y 满足g(y) = i。即当某棋子的SG值为k时，我们可以把它变成0、变成1、……、变成k-1，但绝对不能保持k不变。这类似于Nim游戏，Nim游戏的规则就是：每次选择一堆数量为k的石子，可以把它变成0、变成1、……、变成k-1，但绝对不能保持k不变。这表明，如果将n枚棋子所在的顶点的SG值看作n堆相应数量的石子，那么这个Nim游戏的每个必胜策略都对应于原来这n枚棋子的必胜策略！

对于n个棋子，设它们对应的顶点的SG值分别为(a1,a2,...,an)，再设局面(a1,a2,...,an)时的Nim游戏的一种必胜策略是把ai变成k，那么原游戏的一种必胜策略就是把第i枚棋子移动到一个SG值为k的顶点。其实我们还是只要证明这种多棋子的有向图游戏的局面是P-position当且仅当所有棋子所在的位置的SG函数的异或为0。这个证明与上面的Bouton's Theorem几乎是完全相同的，只需要适当的改几个名词就行了。

刚才，为了使问题看上去更容易一些，认为n枚棋子是在一个有向图上移动。但如果不是在一个有向图上，而是每个棋子在其对应的有向图上，每次可以任选一个棋子（也就是任选一个有向图）进行移动，这样也不会给结论带来任何变化。

所以我们可以定义有向图游戏的和(Sum of Graph Games)：设G1、G2、……、Gn是n个有向图游戏，定义游戏G是G1、G2、……、Gn的和(Sum)，游戏G的移动规则是：任选一个子游戏Gi并移动上面的棋子。Sprague-Grundy Theorem就是：g(G)=g(G1)^g(G2)^...^g(Gn)。也就是说，游戏的和的SG函数值是它的所有子游戏的SG函数值的异或。

任何一个ICG都可以抽象成一个有向图游戏。所以“SG函数”和“游戏的和”的概念就不是局限于有向图游戏。我们给每个ICG的每个position定义SG值，也可以定义n个ICG的和。所以说当我们面对由n个游戏组合成的一个游戏时，只需对于每个游戏找出求它的每个局面的SG值的方法，就可以把这些SG值全部看成Nim的石子堆，然后依照找Nim的必胜策略的方法来找这个游戏的必胜策略了！（Nim其实就是n个从一堆中拿石子的游戏求SG的变型，总SG=n个sg的异或）。（very important）

有n堆石子，每次可以从第1堆石子里取1颗、2颗或3颗，可以从第2堆石子里取奇数颗，可以从第3堆及以后石子里取任意颗……我们可以把它看作3个子游戏，第1个子游戏只有一堆石子，每次可以取1、2、3颗，很容易(看下图pic2)看出x%4==0时处于P局面，即x颗石子的局面的SG值是x%4，(即把pic2中的值改成原值%4)。第2个子游戏也是只有一堆石子，每次可以取奇数颗，经过简单的画图可以知道这个游戏有x颗石子时的SG值是x%2。第3个游戏有n-2堆石子，就是一个Nim游戏。对于原游戏的每个局面，把三个子游戏的SG值异或一下就得到了整个游戏的SG值，然后就可以根据这个SG值判断是否有必胜策略以及做出决策了。其实看作3个子游戏还是保守了些，干脆看作n个子游戏，其中第1、2个子游戏如上所述，第3个及以后的子游戏都是“1堆石子，每次取几颗都可以”，称为“任取石子游戏”，这个超简单的游戏有x颗石子的SG值显然就是x。其实，n堆石子的Nim游戏本身不就是n个“任取石子游戏”的和吗？

（pic2）

所以，对于我们来说，SG函数与“游戏的和”的概念不是让我们去组合、制造稀奇古怪的游戏，而是把遇到的看上去有些复杂的游戏试图分成若干个子游戏，对于每个比原游戏简化很多的子游戏找出它的SG函数，然后全部异或起来就得到了原游戏的SG函数，就可以解决原游戏了。

以下是本文最重要的部分：

解题模型：

1.把原游戏分解成多个独立的子游戏，则原游戏的SG函数值是它的所有子游戏的SG函数值的异或。

       即sg(G)=sg(G1)^sg(G2)^...^sg(Gn)。

2.分别考虑没一个子游戏，计算其SG值。

SG值的计算方法：（重点）

1.可选步数为1~m的连续整数，直接取模即可，SG(x) = x % (m+1);

2.可选步数为任意步，SG(x) = x;

3.可选步数为一系列不连续的数，用模板计算。

　　模板1：打表

 //f[]， 可以取走的石头个数
 //sg[]，SG函数值
 //mex[],mex{}
 int f[MAXN], sg[MAXN], mex[MAXN];
 void getSG(int n)
 {
     int i, j;
     memset(sg, , sizeof(sg));
     for(i = ;i <= n;++i)
     {
         memset(mex, , sizeof(mex));
         for(j = ;f[j] <= i;++j)
             mex[sg[i - f[j]] = ;
         for(j = ;j <= n;++j)
             if(mex[j] == )
             {
                 sg[i] = j;
                 break;
             }
     }
 }

　　模板2：DFS

//s[i] 数组要从小排到大，SG函数要初始化为 -1， 每个集合只需初始化一遍
//n是集合s 的大小，s[i]是定义的特殊取法规则的数组
int s[], sg[], n;
//memset(sg, -1, sizeof(sg));
//sort(s, s + n);
int SG_dfs(int x)
{
    int i;
    if(sg[x] != -)
        return sg[x];
    bool vis[];
    memset(vis, , sizeof(vis));
    for(i = ;i < n;++i)
    {
        if(x >= s[i])
        {
            SG_dfs(x - s[i]);
            vis[sg[x - s[i]] = ;//mex{}
        }
    }
    int e;
    for(i = ;;++i)
        if(!vis[i])
        {
            e = i;
            break;
        }
    return sg[x] = e;
}

　　首选打表，实在不行才用DFS。

3.计算sg(G)=sg(G1)^sg(G2)^...^sg(Gn)，sg(G)=0,即P-Position,即先手必败。

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原博主下面还有题，另外也开了一篇写题的博客