23集训 Day4 数论

快速幂

定义

快速幂，是一个在 $\Theta(\log n)$ 的时间内计算 $a^n$ 的小技巧，而暴力的计算需要 $\Theta(n)$ 的时间。

解释

\[\because a^{b+c}=a^{b} \times a^{c},a^{2b}=a^{b}\times a^{b}=(a^{b})^2
\]

定义快速幂函数为 $q(x,n)$，则

\[q(x, n) =
\begin{cases}
1& b=0\\
a& b=1\\
q(a,b/2)^2&b\bmod 2 = 0\\
q(a,b/2)^2\times a&b\bmod 2 = 1\\
\end{cases}
\]

实现

#include <iostream>

using namespace std;

long long a, b, p;

long long q(long long x, long long n)

{

    if(n == 0) return 1;

    long long r = 0;

    if(n == 1) return a;

    r = q(x, n / 2) % p;

    r = r * r % p;

    if(n % 2) r = r * x % p;

    return r;

}

int main()

{

    cin >> a >> b >> p;

    cout << a << "^" << b << " mod " << p << "=" << q(a, b) % p;

    return 0;

}

唯一分解定理

$\forall n\in \mathbf{N}_+$ 均可以被分解为有限个质数的乘积。

调和级数

百度百科

定义

$\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{i}$ 被称为调和级数，它是发散的，即没有极限。

调和级数的部分和

$\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{i}=\ln n + \gamma+\epsilon_k$。其中 $\gamma$ 是欧拉-马歇罗尼常数，而 $\epsilon_k\approx\dfrac{1}{2k}$ ，并且随着 $k$ 趋于正无穷而趋于 $0$。这个结果由欧拉给出。

gcd 与 lcm

$\forall A,B\in\mathbf{N}_+$，根据唯一分解定理，有 $A=\prod\limits_{i=1}^{n}p_i^{a_{i}},B=\prod\limits_{i=1}^{n}p_i^{b_{i}}$，其中 $p_i$ 为质数。

则有 $\gcd(A,B)=\prod\limits_{i=1}^{n}p_i^{\min(a_i,b_i)}$，$\text{lcm}(A,B)=\prod\limits_{i=1}^{n}p_i^{\max(a_i,b_i)}$。

还有 $\min(a,b) +\max(a,b) = a+b$。

所以

\[\begin{aligned}
\gcd(A,B)\times\text{lcm}(A,B)&=\prod\limits_{i=1}^{n}p_i^{\min(a_i,b_i)}\times\prod\limits_{i=1}^{n}p_i^{\max(a_i,b_i)}\\
&=\prod\limits_{i=1}^{n}p_i^{\min(a_i,b_i)}\times p_i^{\max(a_i,b_i)}\\
&=\prod\limits_{i=1}^{n}p_i^{\min(a_i,b_i)+\max(a_i,b_i)}\\
&=\prod\limits_{i=1}^{n}p_i^{a_i+b_i}\\
&=\prod\limits_{i=1}^{n}p_i^{a_i}+\prod\limits_{i=1}^{n}p_i^{b_i}\\
&=A\times B \\
\end{aligned}
\]

自然对数的底

引入

银行推出了活动，定期存款存一年的 $\frac{1}{n}$ 时，利率为 $\frac{1}{n}$，求本金为 $100\text{元}$ 时反复存取直至一年时最多能拿多少钱。

例：存半年能拿 $100\times (1 + 50\%)^2 = 225\text{(元)}$。

化简一下，题意就变为了：求

\[\lim \limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)
\]

我们定义：

\[\lim \limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)=e
\]

其中 $e$ 是一个无理数，其值约等于 $2.718281828459\cdots$。

以 $e$ 为底的对数被称为自然对数，简记为 $\ln x$。即 $\log_ex=\ln x$。

（$\ln$ 读作 natural log，也可读作 /lɔn/）

exgcd

辗转相除法

\[\gcd(a,b)=
\begin{cases}
a &b=0\\
gcd(b, a\bmod b) &\text{otherwise}\\
\end{cases}
\]

定义

扩展欧几里得算法（Extended Euclidean algorithm, EXGCD），常用于求

\[ax+by=\gcd(a,b)
\]

的一组可行解。

推导过程

因为：

\[\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)\\
a\bmod b = a-b\lfloor \frac{a}{b}\rfloor
\]

就有：

\[\begin{aligned}
ax+by&=\gcd(a,b)\\
bx'+\left(a-b\lfloor \frac{a}{b}\rfloor\right)y'&=gcd(b,a\bmod b)\\
bx'+ay'-b\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y'&=gcd(b,a\bmod b)\\
ay'+b(x'-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y')&=gcd(b,a\bmod b)\\
\end{aligned}
\]

即为：

\[ax+by=ay'+b(x'-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y')
\]

当 $b=0$ 时，有 $x=1,y=0$。

当 $b\neq 0$ 时，递归求解。

Code

void exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {

	if (b == 0) {

		x = 1, y = 0; //递归边界

		return;

	}

	else {

		exgcd(b, a % b, x, y);

		int tmp = x;

		x = y, y = tmp - a / b * y; // 继续递归

	}

}

模运算意义下的逆元

定义

对于任意的 $\gcd(a,p)=1$，存在唯一的 $x(0\leq x\leq p-1)$，使得 $ax\bmod p = 1$。称 $x$ 为 $a$ 在 $\bmod\ p$ 意义下的乘法逆元。

求法

exgcd

\[ax\bmod p = 1 \Leftrightarrow ax+py=1
\]

证明：

\[\because ax\bmod p=ax-p\lfloor \frac{ax}{p}\rfloor
\]

令 $y=\lfloor \dfrac{ax}{p} \rfloor$，则：

\[ax-py = 1
\]

用 exgcd 求解即可。

欧拉定理

欧拉（Euler）定理：

\[a^{\varphi(p)}\equiv 1 (\bmod\ p)
\]

其中 $\varphi$ 为欧拉函数，$\varphi (n)$ 表示不大于 $n$ 的整数中与 $n$ 互质的数的个数，定义 $\varphi(1) =1$。

\[a^{\varphi(p)}\bmod p=1
\]

\[a\times a^{\varphi(p)-1}\bmod p=1
\]

故 $a$ 在 $\bmod\ p$ 意义下的乘法逆元为 $a^{\varphi(p)-1}$。

费马小定理

费马小定理：当 $p$ 为质数时，有 $a^{p-1}\bmod p = 1$。

故 $a$ 在 $\bmod\ p$ 意义下的乘法逆元为 $a^{p-2}$。

当 $p$ 为质数时，$\varphi(p)=p-1$，故费马小定理求逆元是欧拉定理求逆元的一种特殊情况。

欧拉筛

筛质数

在欧拉筛中，每一个合数都是被最小的质因子筛掉。

void init(int n) {

	for (int i = 2; i <= n; ++i) {

		if (!vis[i]) {

			pri[cnt++] = i;

		}

		for (int j = 0; j < cnt && 1ll * i * pri[j] <= n; ++j) {

			vis[i * pri[j]] = 1;

			if (i % pri[j] == 0) { // 换言之，i 之前被 pri[j] 筛过了

				// 由于 pri 里面质数是从小到大的，所以 i 乘上其他的质数的结果一定会被

				// pri[j]的倍数筛掉，就不需要在这里先筛一次，所以这里直接 break 就好了

				break;

			}

		}

	}

}

因为 prime[] 中的质数是递增的，当 $i\mid prime_j$，那么 $i\times prime_{j+1}$ 一定会被 $prime_j$ 乘某个数筛掉，接下来的数同理，因此在满足 i % prime[j] == 0 时即可 break 。

筛积性函数

积性函数的定义：

若函数 $f(n)$ 满足 $f(1)=1$ 且 $\forall x,y\in\mathbf{N}_+,\gcd(x,y)=1$ 都有 $f(x\times y)=f(x)\times f(y)$，则 $f(n)$ 为积性函数。

将 $x$ 分类讨论：

$x$ 为质数，则 $f(x)$ 直接计算。
$i\bmod prime_j \neq 0$，则根据积性函数定义，有 $f(i\times prime_j)=f(i)\times f(prime_j)$
$i\bmod prime_j = 0$，则 $i$ 的最小质因子也为 $prime_j$，记 $prime_j$ 在 $i$ 的质因数中出现次数为 $t$，显然 $\dfrac{i}{prime_j^t}$ 与 $prime_j^{t+1}$ 互质。所以 $f(i\times prime_j)=f(\dfrac{i}{prime_j^t})\times f(prime_j^{t+1})$

筛欧拉函数

易证 $\varphi$ 为积性函数。

对于任意的质数 $p$，有 $\varphi(p)=p-1$，$\varphi(p^a)=p^{a-1}(p-1)$。

证明：

当 $p$ 为质数时，在不大于 $p$ 的正整数中，每 $p$ 个数就有 $p-1$ 个数与 $p$ 互质。

所以 $\varphi(p^a)=p^a\times\frac{p-1}{p} = p^{a-1}(p-1)$。$\Box$

故

\[\begin{aligned}
\varphi(n)&=\prod\varphi(p_i^{a_i})\\
&=\prod p_i^{a_i}\times \frac{p_i-1}{p_i}\\
&=\left(\prod p_i^{a_i}\right)\times \left(\prod\frac{p_i-1}{p_i}\right)\\
&=n\prod\frac{p_i-1}{p_i}
\end{aligned}
\]

将 $x$ 分类讨论：

$x$ 为质数，则 $\varphi(x)=x-1$。
$i\bmod prime_j \neq 0$，则根据积性函数定义，有 $\varphi(i\times prime_j)=\varphi(i)\times \varphi(prime_j) = \varphi(i)\times (prime_j-1)$
$i\bmod prime_j = 0$，则 $i$ 包含了 $prime_j$ 的所有质因子，

\[\begin{aligned}
\varphi(n) & = n \times \prod{\frac{p_i - 1}{p_i}} \\
& = prime_j \times i \times \prod{\frac{p_i - 1}{p_i}} \\
& = prime_j \times \varphi(i)
\end{aligned}
\]

Code：

//vis[i] 存储 i 是否为合数

void init() {

	for (int i = 2; i <= n; ++i) {

		if (!vis[i]) {

			prime[++cnt] = i;

		}

		for (int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] <= n; ++j) {

			vis[i * prime[j]] = true;

			if (i % prime[j] == 0) {

				break;

			}

		}

	}

}

博弈论

寄，没听懂