一、原题链接

Problem - 2045 (hdu.edu.cn)

二、题面

人称“AC女之杀手”的超级偶像LELE最近忽然玩起了深沉,这可急坏了众多“Cole”(LELE的粉丝,即"可乐"),经过多方打探,某资深Cole终于知道了原因,原来,LELE最近研究起了著名的RPG难题:

有排成一行的n个方格,用红(Red)、粉(Pink)、绿(Green)三色涂每个格子,每格涂一色,要求任何相邻的方格不能同色,且首尾两格也不同色.求全部的满足要求的涂法.

以上就是著名的RPG难题.

如果你是Cole,我想你一定会想尽办法帮助LELE解决这个问题的;如果不是,看在众多漂亮的痛不欲生的Cole女的面子上,你也不会袖手旁观吧?

三、示例

  1. 输入

    • 输入数据包含多个测试实例,每个测试实例占一行,由一个整数N组成,(0<n<=50)。
    • 1
      2
  2. 输出

    • 对于每个测试实例,请输出全部的满足要求的涂法,每个实例的输出占一行。
    • 3
      6

五、思路

  1. 动态规划使用条件

    • 无后效性

      • 将集合的表达定义为arr[n]:n个方格的有效排列数

        后效性:对于一个n格的有效排列,第n格的颜色不单要求与第n-1格不同,还要求与第一格不同

      • 将集合的表达定义为arr[n][i][j]:n个方格第一个颜色为i最后一个颜色为j,故问题转换为了求n格方格且相邻两个颜色不同的可能数,在输出结果时仅输出两个不同颜色的结果之

        注:增加维度本质还是分类讨论

    • 最优子结构:由上,显然对于目标问题n个相邻颜色不同的方格排列,有子问题n-1个相邻颜色不同的方格排列必然成立

    • 重复子问题:无

  2. 动态规划模型构建

    • 集合表达

      ans[55][3][3]

      • 第一维表示方格数
      • 第二维表示起始颜色
      • 第三维表示结束颜色
    • 递推式:n个方格的排列可由n-1个方格推得

      for(int i=2;i<=50;i++){
      for(int j=0;j<3;j++){
      ans[i][j][j]=ans[i-1][j][(j+1)%3]+ans[i-1][j][(j+2)%3];
      ans[i][j][(j+1)%3]=ans[i-1][j][j]+ans[i-1][j][(j+2)%3];
      ans[i][j][(j+2)%3]=ans[i-1][j][j]+ans[i-1][j][(j+1)%3];
      }
      }
    • 初值确定:由递推式可知,只需知道1个方格的排列

      for(int i=0;i<3;i++){
      ans[1][i][i]=1;
      }

六、code

#include <bits/stdc++.h>

#define PI 3.1415927

using namespace std;
typedef long long ll; int main()
{
ll n,ans[55][3][3];
memset(ans,0,55*3*3*sizeof(ll));
//求n个相邻颜色不同的方格排列
for(int i=0;i<3;i++){
ans[1][i][i]=1;
}
for(int i=2;i<=50;i++){
for(int j=0;j<3;j++){
ans[i][j][j]=ans[i-1][j][(j+1)%3]+ans[i-1][j][(j+2)%3];
ans[i][j][(j+1)%3]=ans[i-1][j][j]+ans[i-1][j][(j+2)%3];
ans[i][j][(j+2)%3]=ans[i-1][j][j]+ans[i-1][j][(j+1)%3];
}
}
while(cin >> n){
//求n个相邻颜色不同且收尾颜色不同的方格排列
ll num=0;
for(int i=0;i<3;i++){
if(n==1){
num+=ans[n][i][i];
}
num+=ans[n][i][(i+1)%3];
num+=ans[n][i][(i+2)%3];
}
cout << num << endl;
}
return 0;
}

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