zkq 数学听课笔记

线性代数

• 域 \(F\)，OI 中常用的域是 \(\Z_{p^c}\)。
• \(n\) 维向量 \(\vec x \in F^n\)，其中 \(x_i \in F\)，注意向量是列向量。
  • \(F^n\) 向量/线性空间，满足线性性
    • 八个性质，\(u, v, w \in V\)，\(c, d \in F\)
      1. \(u + v = v + u\)
      2. \((u + v) + w = u + (v + w)\)
      3. 存在 \(0\) 元
      4. \(\exists (-u) \in F \quad u + (-u) = 0\)
      5. \(1u = u\)
      6. \(c(u + v) = cu + cv\)
      7. \((c + d)u = cu + du\)
      8. \(c(du) = (cd)u\)
• 矩阵：\(M \in F^{n \times m}\)。
  • 线性变换：\(f: V \to V, f(u + v) = f(u) + f(v), f(cx) = cf(x)\)
  • 乘向量：\(F^m \to F^n\)。
  • 乘矩阵，线性变换的复合（可以这么理解，结果仍然是线性变换。
• 有限集合下
  • 向量线性独立：\(\not \exists i ~ v_i = \sum_{j \ne i} \alpha_i v_j\)
  • 张成 \(\mathrm{span}(\{v_1, \ldots, v_n\}) = \{v | \alpha_1 v_1 + \ldots + \alpha_n v_n, \alpha_i \in F\}\)。
  • 线性空间的基 \(B\) 是一组线性独立，张成 \(V\) 的向量集
    • \(\dim (V) = \mathrm{card} (B)\)。
• 无限集合下
  • 线性独立：所有有限子集线性独立
  • 张成：所有有限子集张成的并
• 子空间 \(W \subseteq V\) 注意 \(W\) 也是线性空间
  • \(0 \in W\)，\(W \bigcap V = W\)。
• 矩阵 —— 列空间
  • 秩 \(\mathrm{rank}\)：列空间的维度
  • 满秩矩阵：方阵，秩 = 行数
  • \(A\) 满秩 \(\iff （A x = 0 \iff x = 0)\)
  • \(\mathrm{rank}(A + B) \le \mathrm{rank}(A) + \mathrm{rank}(B)\)
  • 逆矩阵：\(A A^{-1} = A^{-1} A = I\)，不存在当且仅当不满秩。
    • CF1070L, CF963E
• \(\det A = \sum_P (-1)^{inv(P)} \prod_{i = 1}^n a_{i, P_i}\).
  • \(\det I = 1\)
  • 基本变换：
    • 交换行：\(\det \leftarrow -\det\)
    • 行数乘：\(\det \leftarrow c \det\)
    • 行加上另一行：\(\det\) 不变。
  • 满秩 \(\iff \det \ne 0\)。
  • 矩阵树定理：
    • \(L = D - A, \det(L_{[0]}) = \sum_T \prod_{e \in T} w(e)\)。
    • P6624, CF578F
  • LGV 引理
    • 对于 DAG 和若干起点，终点，令 \(M_{i,j} = A_i\) 到 \(B_j\) 的方案数。
    • 那么 \(\det M\) 是不交路径的方案数。
    • P7736, gym102978A
• 特征值/多项式
  • \(Ax = \lambda x \to \det (A - \lambda I) = 0\)，求特征值即求解上述方程。
  • 特征多项式：\(P_A = \det(A - \lambda I)\) 是关于 \(\lambda\) 的 \(n\) 次多项式
    • 矩阵的迹：对角线的和
    • \([\lambda^n]P_A = (-1)^n\)
    • \([\lambda^{n - 1}] P_A = (-1)^{n - 1} tr(A)\)
    • \([\lambda^0] P_A = \det A\)
  • 代数闭域：\(\forall f ~ \exists x (f(x) = 0)\)。
  • \(P_A = \prod \lambda_i - \lambda\)
    • \(\sum \lambda_i = tr(A)\)
    • \(\prod \lambda_i = \det (A)\)
  • 谱范数 \(A^T A\) 的最大特征值的平方根（\(A\) 的最大奇异值）
  • 谱分解（对角化）
    • \(AQ = Q\Lambda \to A = Q \Lambda Q^{-1} \to A^k = Q \Lambda^k Q^{-1}\)。
    • ……
• 马尔克夫矩阵：
  • \(A 1 = 1, A\)，考虑随机游走的过程
  • \(A\) 有特征值 \(\lambda = 1\)。
  • ……
• 计算几何
  • 平面凸包，闵和
  • 旋转卡壳
  • 半平面交
  • ……
• 多项式技巧
  • NTT：有限域下的 FFT
  • 另一种卷积的方式