SG 大法（Sprague-Grundy函数）

SG函数的定义：

g(x) = mex ( sg(y) |y是x的后继结点 )

其中mex（x）（x是一个自然是集合）函数是x关于自然数集合的补集中的最小值，比如x={0,1,2,4,6} 则mex（x）=3；

什么是后继结点？

所谓后继结点就是当前结点经过一个操作可以变成的状态。比如对于取4石子游戏，假如每次可以取的数目是1,2,4，当前的石子数目也就是当前状态是5，那么5的后继结点就是{5-1, 5-2, 5-4}={4,3,1}；

如果5的三个后继结点的SG函数值分别为0,1,3，那么5的SG值就是集合{0,1,3}的补集的最小元素，也就是2。

关于整个游戏的sg值之和sum，定义sum=sg1 ^ sg2 ^ sg3 ^ ……sgn.  其中^表示按位异或运算。

结论：一个游戏的初始局面是必败态当且仅当sum=0。

插一段大神的论文

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上一期的文章里我们仔细研究了Nim游戏，并且了解了找出必胜策略的方法。但如果把Nim的规则略加改变，你还能很快找出必胜策略吗？比如说：有n堆石子，每次可以从第1堆石子里取1颗、2颗或3颗，可以从第2堆石子里取奇数颗，可以从第3堆及以后石子里取任意颗……这时看上去问题复杂了很多，但相信你如果掌握了本节的内容，类似的千变万化的问题都是不成问题的。
现在我们来研究一个看上去似乎更为一般的游戏：给定一个有向无环图和一个起始顶点上的一枚棋子，两名选手交替的将这枚棋子沿有向边进行移动，无法移动者判负。事实上，这个游戏可以认为是所有Impartial Combinatorial Games的抽象模型。也就是说，任何一个ICG都可以通过把每个局面看成一个顶点，对每个局面和它的子局面连一条有向边来抽象成这个“有向图游戏”。下面我们就在有向无环图的顶点上定义Sprague-Garundy函数。

首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每个顶点的Sprague-Garundy函数g如下：g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继 }。

来看一下SG函数的性质。首先，所有的terminal position所对应的顶点，也就是没有出边的顶点，其SG值为0，因为它的后继集合是空集。然后对于一个g(x)=0的顶点x，它的所有后继y都满足g(y)!=0。对于一个g(x)!=0的顶点，必定存在一个后继y满足g(y)=0。

以上这三句话表明，顶点x所代表的postion是P-position当且仅当g(x)=0（跟P-positioin/N-position的定义的那三句话是完全对应的）。我们通过计算有向无环图的每个顶点的SG值，就可以对每种局面找到必胜策略了。但SG函数的用途远没有这样简单。如果将有向图游戏变复杂一点，比如说，有向图上并不是只有一枚棋子，而是有n枚棋子，每次可以任选一颗进行移动，这时，怎样找到必胜策略呢？

让我们再来考虑一下顶点的SG值的意义。当g(x)=k时，表明对于任意一个0<=i<k，都存在x的一个后继y满足g(y)=i。也就是说，当某枚棋子的SG值是k时，我们可以把它变成0、变成1、……、变成k-1，但绝对不能保持k不变。不知道你能不能根据这个联想到Nim游戏，Nim游戏的规则就是：每次选择一堆数量为k的石子，可以把它变成0、变成1、……、变成k-1，但绝对不能保持k不变。这表明，如果将n枚棋子所在的顶点的SG值看作n堆相应数量的石子，那么这个Nim游戏的每个必胜策略都对应于原来这n枚棋子的必胜策略！

对于n个棋子，设它们对应的顶点的SG值分别为(a1,a2,...,an)，再设局面(a1,a2,...,an)时的Nim游戏的一种必胜策略是把ai变成k，那么原游戏的一种必胜策略就是把第i枚棋子移动到一个SG值为k的顶点。这听上去有点过于神奇——怎么绕了一圈又回到Nim游戏上了。

其实我们还是只要证明这种多棋子的有向图游戏的局面是P-position当且仅当所有棋子所在的位置的SG函数的异或为0。这个证明与上节的Bouton's Theorem几乎是完全相同的，只需要适当的改几个名词就行了。

刚才，我为了使问题看上去更容易一些，认为n枚棋子是在一个有向图上移动。但如果不是在一个有向图上，而是每个棋子在一个有向图上，每次可以任选一个棋子（也就是任选一个有向图）进行移动，这样也不会给结论带来任何变化。

所以我们可以定义有向图游戏的和(Sum of Graph Games)：设G1、G2、……、Gn是n个有向图游戏，定义游戏G是G1、G2、……、Gn的和(Sum)，游戏G的移动规则是：任选一个子游戏Gi并移动上面的棋子。Sprague-Grundy Theorem就是：g(G)=g(G1)^g(G2)^...^g(Gn)。也就是说，游戏的和的SG函数值是它的所有子游戏的SG函数值的异或。

再考虑在本文一开头的一句话：任何一个ICG都可以抽象成一个有向图游戏。所以“SG函数”和“游戏的和”的概念就不是局限于有向图游戏。我们给每个ICG的每个position定义SG值，也可以定义n个ICG的和。所以说当我们面对由n个游戏组合成的一个游戏时，只需对于每个游戏找出求它的每个局面的SG值的方法，就可以把这些SG值全部看成Nim的石子堆，然后依照找Nim的必胜策略的方法来找这个游戏的必胜策略了！

回到本文开头的问题。有n堆石子，每次可以从第1堆石子里取1颗、2颗或3颗，可以从第2堆石子里取奇数颗，可以从第3堆及以后石子里取任意颗……我们可以把它看作3个子游戏，第1个子游戏只有一堆石子，每次可以取1、2、3颗，很容易看出x颗石子的局面的SG值是x%4。第2个子游戏也是只有一堆石子，每次可以取奇数颗，经过简单的画图可以知道这个游戏有x颗石子时的SG值是x%2。第3个游戏有n-2堆石子，就是一个Nim游戏。对于原游戏的每个局面，把三个子游戏的SG值异或一下就得到了整个游戏的SG值，然后就可以根据这个SG值判断是否有必胜策略以及做出决策了。其实看作3个子游戏还是保守了些，干脆看作n个子游戏，其中第1、2个子游戏如上所述，第3个及以后的子游戏都是“1堆石子，每次取几颗都可以”，称为“任取石子游戏”，这个超简单的游戏有x颗石子的SG值显然就是x。其实，n堆石子的Nim游戏本身不就是n个“任取石子游戏”的和吗？

所以，对于我们来说，SG函数与“游戏的和”的概念不是让我们去组合、制造稀奇古怪的游戏，而是把遇到的看上去有些复杂的游戏试图分成若干个子游戏，对于每个比原游戏简化很多的子游戏找出它的SG函数，然后全部异或起来就得到了原游戏的SG函数，就可以解决原游戏了。这种“分而治之”的思想在下一节介绍的“翻硬币游戏”中将被应用得淋漓尽致。还是敬请期待。

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SG打表模板

 //f[]  可以取走的石子数  从f[1]开始  f[]里的值要从小到大排序
 //sg[]   0~n的sg函数值
 int f[maxn],sg[maxn],mex[maxn];  //maxn一个堆的大小
 int k ;  //k为集合的大小
 void getsg(int n)
 {
     int i,j;
     sg[]=;
     for (i=;i<=n;i++){
         memset(mex,,sizeof(mex));
         j=;
         while (j<=k && i>=f[j]){
             mex[sg[i-f[j]]]=;  //i-f[j]  是 i的后继结点
             j++;
         }
         j=;
         while (mex[j]) j++;
         sg[i]=j;
     }
 }  

HDU 1536  和 1944

题意：
首先输入K 表示一个集合的大小 之后输入集合 表示对于这对石子只能去这个集合中的元素的个数
之后输入 一个m 表示接下来对于这个集合要进行m次询问
之后m行 每行输入一个n 表示有n个堆 每堆有n1个石子 问这一行所表示的状态是赢还是输 如果赢输入W否则L

Sample Input
2 2 5 // 集合大小 集合里的数
3 //询问次数
2 5 12 // 多少堆 堆的大小
3 2 4 7
4 2 3 7 12
5 1 2 3 4 5
3
2 5 12
3 2 4 7
4 2 3 7 12
0

Sample Output
LWW //L为先手败
WWL

 # include <iostream>
 # include <cstdio>
 # include <cmath>
 # include <cstring>
 # include <algorithm>
 using namespace std ;

 int f[],sg[],mex[];
 int k ;  //k为集合的大小
 void getsg(int H)
 {
     int i,j;
     sg[]=;
     for (i=;i<H;i++){
         memset(mex,,sizeof(mex));
         j=;
         while (j<=k && i>=f[j]){
             mex[sg[i-f[j]]]=;
             j++;
         }
         j=;
         while (mex[j]) j++;
         sg[i]=j;
     }
 }  

 int main ()
 {
 //    freopen("in.txt","r",stdin) ;

     while (scanf("%d" , &k) , k)
     {
         int i ;
         for (i =  ; i <= k ; i++)
         {
             scanf("%d" , &f[i]) ;
         }
         sort(f+ , f++k) ;
         getsg() ;
         int m ;
         scanf("%d" , &m) ;
         while (m--)
         {
             int n ;
             scanf("%d" , &n) ;
             int x ;
             int sum =  ;
             for (i =  ; i <= n ; i++)
             {
                 scanf("%d" , &x) ;
                 sum ^= sg[x] ;
             }
             if (sum == )
               printf("L") ;
             else
               printf("W") ;
         }
         printf("\n") ;
     }

     return  ;
 }

HDU 1848

1、 这是一个二人游戏;
2、 一共有3堆石子，数量分别是m, n, p个；
3、 两人轮流走;
4、 每走一步可以选择任意一堆石子，然后取走f个；
5、 f只能是菲波那契数列中的元素（即每次只能取1，2，3，5，8…等数量）；
6、 最先取光所有石子的人为胜者；

假设双方都使用最优策略，请判断先手的人会赢还是后手的人会赢。
如果先手的人能赢，请输出“Fibo”，否则请输出“Nacci”

Sample Input
1 1 1 // m n p
1 4 1
0 0 0

Sample Output
Fibo
Nacci

# include <iostream>
# include <cstdio>
# include <cmath>
# include <cstring>
# include <algorithm>
using namespace std ;

const int maxn =  ;

int f[maxn],sg[maxn],mex[maxn];  //maxn一个堆的大小
int k ;  //k为集合的大小
void getsg(int n)
{
    int i,j;
    sg[]=;
    for (i=;i<=n;i++){
        memset(mex,,sizeof(mex));
        j=;
        while (j<=k && i>=f[j]){
            mex[sg[i-f[j]]]=;  //i-f[j]  是 i的后继结点
            j++;
        }
        j=;
        while (mex[j]) j++;
        sg[i]=j;
    }
}  

int main ()
{
    f[] =  ;
    f[] =  ;
    int i , n ,m , p ;
    for (i =  ; i <=  ; i++)
      f[i] = f[i - ] + f[i - ] ;
    k =  ;
    getsg() ;

    while (scanf("%d %d %d" , &m , &n , &p) )
    {
        if (m ==  && n ==  && p == )
           break ;

        int sum =  ;
        sum = sg[m] ^ sg[n] ^ sg[p] ;
        if (sum == )
          printf("Nacci\n") ;
        else
          printf("Fibo\n") ;
    }

    return  ;
}

HDU 1847 （如果找规律法不会 可以用SG）

 # include <iostream>
 # include <cstdio>
 # include <cmath>
 # include <cstring>
 # include <algorithm>
 using namespace std ;

 const int maxn =  ;

 int f[maxn],sg[maxn],Hash[maxn];
 void getsg(int n)
 {
     memset(sg,,sizeof(sg));
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         memset(Hash,,sizeof(Hash));
         for(int j=;f[j]<=i;j++)
             Hash[sg[i-f[j]]]=;
         for(int j=;j<=n;j++)
         {
             if(Hash[j]==)
             {
                 sg[i]=j;
                 break;
             }
         }
     }
 } 

 int main ()
 {
     int n ;
     f[] =  ;
     int i ;
     for (i =  ; i <=  ; i++)
        f[i] = f[i-] *  ;
     getsg() ;
     while (scanf("%d" , &n) != EOF)
     {
         int sum =  ;
         sum ^= sg[n] ;
         if (sum == )
           printf("Cici\n") ;
         else
           printf("Kiki\n") ;
     }

     return  ;
 }