Time Limit: 2000MS   Memory Limit: 65536K
Total Submissions: 11758   Accepted: 3783

Description

Beads of N colors are connected together into a circular necklace of N beads (N<=1000000000). Your job is to calculate how many different kinds of the necklace can be produced. You should know that the necklace might not use up all the N colors, and the repetitions that are produced by rotation around the center of the circular necklace are all neglected.

You only need to output the answer module a given number P.

Input

The first line of the input is an integer X (X <= 3500) representing the number of test cases. The following X lines each contains two numbers N and P (1 <= N <= 1000000000, 1 <= P <= 30000), representing a test case.

Output

For each test case, output one line containing the answer.

Sample Input

5
1 30000
2 30000
3 30000
4 30000
5 30000

Sample Output

1
3
11
70
629

Source

POJ Monthly,Lou Tiancheng
  n种颜色的珠子组成一个长度为n的圆环,旋转能够到达的属于重复状态,问一共有多少种不同的方案。
  由polya定理可知 ans=SUM{ ngcd(k,n) |  0<=k<n} / n ,n<1e9  如果直接算的话肯定会T。由于所有的gcd(k,n)都是n的因子,可以考虑对
相同的因子分成一组,这样找到每一组的个数就好办了, ans=1/n * SUM{ s(d)*nd |  d|n ,s(d)为使得gcd(k,n)=d成立的k的个数 },
gcd(k,n)==d   -->  gcd(k/d,n/d)==1  --> phi(n/d)  。 所以得出s(d)=phi(n/d) ,枚举一下n的因子统计答案就好了。
  在计算phi的时候先把sqrt(1e9)之内的素数筛出来再计算会更快,否则会超时。
  

 #include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<map>
#include<set>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
#define LL long long
#define PI acos(-1.0)
#define N 33333
int mod;
bool isp[N+];
vector<int>prime;
void init(){
int m=sqrt(N+0.5);
for(int i=;i<=N;i++){
if(!isp[i]){
prime.push_back(i);
for(int j=i*i;j<=N;j+=i)isp[j]=;
}
}
}
int qpow(int a,int b,int m){
a%=m;
int r=;
while(b){
if(b&) r=r*a%m;
b>>=;
a=a*a%m;
}
return r%m;
}
int euler(int n){
int m=sqrt(n+0.5);
int ans=n;
for(int i=;prime[i]<=m;++i){
if(n%prime[i]==){
ans=ans/prime[i]*(prime[i]-);
while(n%prime[i]==) n/=prime[i];
}
}
if(n>) ans=ans/n*(n-);
return ans%mod;
}
int main()
{
int t,n,i,j,k,d;
init();
scanf("%d",&t);
while(t--){
scanf("%d%d",&n,&mod);
int ans=;
for(i=;i*i<n;++i){
if(n%i==){
(ans+=(euler(n/i)*qpow(n,i-,mod)%mod))%=mod; (ans+=(euler(i)*qpow(n,n/i-,mod)%mod))%=mod;
}
}
if(i*i==n) (ans+=(euler(i)*qpow(n,i-,mod)%mod))%=mod;
cout<<ans<<endl;
}
return ;
}

poj-2154-polya+euler函数的更多相关文章

  1. POJ burnside&&polya整理练习

    POJ 2409 Let it Bead 这题就是polya公式的直接套用,唯一麻烦的是置换群的种类数,由于可以翻转,所以除了要加上pow(c,gcd(s,i))这些平面旋转的置换群,还要加上翻转的. ...

  2. POJ 2407.Relatives-欧拉函数O(sqrt(n))

    欧拉函数: 对正整数n,欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目. 对于一个正整数N的素数幂分解N=P1^q1*P2^q2*...*Pn^qn. Euler函数表达通式:euler(x)=x(1 ...

  3. 2021.08.10 Euler函数总结

    2021.08.10 Euler函数总结 知识: 记 φ(n) 表示在 [1,n] 中与 n互质的数的个数. 1.p为质数,则 \[φ(p^l)=p^l-p=p^{l-1}(p-1) \] 注:每p个 ...

  4. poj 2154 Color(polya计数 + 欧拉函数优化)

    http://poj.org/problem?id=2154 大致题意:由n个珠子,n种颜色,组成一个项链.要求不同的项链数目.旋转后一样的属于同一种.结果模p. n个珠子应该有n种旋转置换.每种置换 ...

  5. [ACM] POJ 2154 Color (Polya计数优化,欧拉函数)

    Color Time Limit: 2000MS   Memory Limit: 65536K Total Submissions: 7630   Accepted: 2507 Description ...

  6. poj 2154 Color【polya定理+欧拉函数】

    根据polya定理,答案应该是 \[ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}n^{gcd(i,n)} \] 但是这个显然不能直接求,因为n是1e9级别的,所以推一波式子: \[ \frac ...

  7. poj2409 & 2154 polya计数+欧拉函数优化

    这两个题都是项链珠子的染色问题 也是polya定理的最基本和最经典的应用之一 题目大意: 用m种颜色染n个珠子构成的项链,问最终形成的等价类有多少种 项链是一个环.通过旋转或者镜像对称都可以得到置换 ...

  8. POJ 2154 color (polya + 欧拉优化)

    Beads of N colors are connected together into a circular necklace of N beads (N<=1000000000). You ...

  9. POJ 2154 【POLYA】【欧拉】

    前记: TM终于决定以后干啥了.这几天睡的有点多.困饿交加之间喝了好多水.可能是灌脑了. 切记两件事: 1.安心当单身狗 2.顺心码代码 题意: 给你N种颜色的珠子,串一串长度问N的项链,要求旋转之后 ...

  10. POJ 2154 Color [Polya 数论]

    和上题一样,只考虑旋转等价,只不过颜色和珠子$1e9$ 一样的式子 $\sum\limits_{i=1}^n m^{gcd(i,n)}$ 然后按$gcd$分类,枚举$n$的约数 如果这个也化不出来我莫 ...

随机推荐

  1. 利用Python 脚本生成 .h5 文件 代码

    利用Python 脚本生成 .h5 文件 import os, json, argparse from threading import Thread from Queue import Queue ...

  2. BZOJ 4399 魔法少女LJJ(线段树合并)

    题意 https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4399 思路 码农题,需要一定代码功底.方法很暴力,先将权值离散,表示在线段树里储存的位置,每 ...

  3. LeetCode - 198 简单动态规划 打家劫舍

    你是一个专业的小偷,计划偷窃沿街的房屋.每间房内都藏有一定的现金,影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统,如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入,系统会自动报警. 给定一个代表每 ...

  4. NLog汇总

    相关文章 NLog文章系列——系列文章目录以及简要介绍 Elasticsearch,Kibana,Logstash,NLog实现ASP.NET Core 分布式日志系统 ElasticSearch+N ...

  5. [转载]undefined reference to `memcpy@GLIBC_2.14'

    转自:http://blog.sina.com.cn/s/blog_6c5a47d30102wfw9.html undefined reference to `memcpy@GLIBC_2.14' ( ...

  6. 3、使用keepalived高可用LVS实例演示

    回顾: keepalived: vrrp协议的实现: 虚拟路由器: MASTER,BACKUP VI:Virtual Instance keepalived.conf GLOBAL VRRP LVS ...

  7. HTTPS 如何保证数据传输的安全性

    为什么需要 HTTPS? 我们知道 HTTP 是一个纯文本传输协议,对传输过程中的数据包不进行加密,是明文传输,那这样的话对于介于在发送端和接收端之间的任何 一个节点都能知道传输的内容,这些节点可能是 ...

  8. _itemmod_rate_stone

    `entry`几率宝石物品ID `type` 1--合成对应_itemmod_exchange_item 2--强化对应_itemmod_exchange_item 3-附魔(除itemMask = ...

  9. 《EM-PLANT仿真技术教程》读书笔记

    1.在系统分析过程中,必须考虑系统所处的环境,因此划分系统与环境的边界是系统分析的首要任务 2.模型可以分为物理模型和数学模型.数学模型可以分为解析模型.逻辑模型.网络模型以及仿真模型.模型可以分为离 ...

  10. java GUI 返回图片源码

    返回图片源码,重开一个类粘贴即可 package cn.littlepage.game; import java.awt.Image; import java.awt.image.BufferedIm ...