偶然遇见：Cayley定理

看到\(purfer\)序列板子后，想到这个名词在哪见过，于是找到了一个题，还带出一个：

\(T1\).

题目链接：P4430 小猴打架

开始极其懵逼，考虑过大力容斥，但还是失败了，原来是：

Cayley定理(凯莱，反正是个神犇就对了):

\(n\)个节点的带标号的形态不同的无根树有\(n^{n-2}\)个，

再乘上\((n-1)!\)种生成方式即可，

\[ans=(n-1)!×n^{n-2}
\]

时间复杂度\(O(n+logn)\)，你要是会快速阶乘，就可以\(O(logn)\)了。

\(Code\):

#include<iostream>
using namespace std;
const int mod=9999991;
long long quickpow(int a,int b)
{
	long long ans=1,base=a;
	while(b)
	{
		if(b&1) ans=ans*base%mod;
		base=base*base%mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
int n;
long long f;
int main()
{
	cin>>n;
	f=1;
	for(int i=2;i<n;i++)
	{
		f=f*i%mod;
	}
	f=f*quickpow(n,n-2)%mod;
	cout<<f;
	return 0;
}

\(T2\).

题目链接：P4981 父子

一样的，只是考虑\(n\)种无根树，

\[ans=n^{n-1}
\]

复杂度\(O(Tlogn)\)，可以通过本题。

\(Code\):

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+9;
ll quickpow(ll a,ll b)
{
    ll ans=1,base=a;
    while(b!=0)
    {
        if(b&1!=0)
        {
            ans=ans*base%mod;
        }
        base=base*base%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans%mod;
}
int t,n;
int main()
{
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		scanf("%d",&n);
		int s=quickpow(n,n-1)%mod;
		printf("%d\n",s);
	}
	return 0;
}