[hdu3068 最长回文]Manacher算法,O(N)求最长回文子串
题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3068
题意:求一个字符串的最长回文子串
思路:
- 枚举子串的两个端点,根据回文串的定义来判断其是否是回文串并更新答案,复杂度O(N3)。
- 枚举回文串的对称轴i,以及回文半径r,由i和r可确定一个子串,然后暴力判断即可。复杂度O(N2)。
- 在上一步的基础上,改进判断子串是否是回文串的算法。记fi(r)=(bool)以i为对称轴半径为r的子串是回文串,fi(r)的值域为{0, 1},显然fi(r)是关于r的单调函数,于是可以二分r,然后用字符串hash在O(1)的时间内判断子串是否是回文串,总复杂度O(NlogN)。
- 虽然O(NlogN)的复杂度已经非常不错了,但还有线性的算法---Manacher算法。
Manacher算法:维护两个值r和id,r是以前的回文串的最大右边界,id是其对应的下标,如果当前考虑的对称轴i小于等于r,那么从i到r这一段子串是否可以和i左边的子串构成回文串(或者说最长能有多长)其实在之前是已经计算过了的(或者说计算出了一部分),因为将i作关于id的对称点i'=2*id-i,就不难发现i'周围若干字符和i周围若干字符是对应相同的,这是Manacher算法的核心之处,可以用i'的最大回文半径来更新i的最大回文半径,利用这个性质就能做到线性的复杂度。
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