Bzoj 1036 树的统计分类： ACM TYPE 2014-12-29 18:55 72人阅读评论(0) 收藏

Description

一棵树上有n个节点，编号分别为1到n，每个节点都有一个权值w。我们将以下面的形式来要求你对这棵树完成一些操作： I. CHANGE u t : 把结点u的权值改为t II. QMAX u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的最大权值 III. QSUM u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的权值和注意：从点u到点v的路径上的节点包括u和v本身

Input

输入的第一行为一个整数n，表示节点的个数。接下来n – 1行，每行2个整数a和b，表示节点a和节点b之间有一条边相连。接下来n行，每行一个整数，第i行的整数wi表示节点i的权值。接下来1行，为一个整数q，表示操作的总数。接下来q行，每行一个操作，以“CHANGE u t”或者“QMAX u v”或者“QSUM u v”的形式给出。对于100％的数据，保证1<=n<=30000，0<=q<=200000；中途操作中保证每个节点的权值w在-30000到30000之间。

Output

对于每个“QMAX”或者“QSUM”的操作，每行输出一个整数表示要求输出的结果。

Sample Input

4

1 2

2 3

4 1

4 2 1 3

12

QMAX 3 4

QMAX 3 3

QMAX 3 2

QMAX 2 3

QSUM 3 4

QSUM 2 1

CHANGE 1 5

QMAX 3 4

CHANGE 3 6

QMAX 3 4

QMAX 2 4

QSUM 3 4

Sample Output

4

1

2

2

10

6

5

6

5

16

题解

2014.4.6 树链剖分。。。

参照了蒋一瑶神犇模板

http://wenku.baidu.com/link?url=SGLjpJtYbJ0HxDYlU_GMXE1qCFS0gbmpDGWPxI7mQuNAsJP0y872mNKwpZ8P054g5XMhFGZbMUjZvN5hcnxFFUEfGBj6-tnkpnJvnVSlqGS

树链剖分就是把树拆成一系列链，然后用数据结构对链进行维护。

通常的剖分方法是轻重链剖分，所谓轻重链就是对于节点u的所有子结点v，size[v]最大的v与u的边是重边，其它边是轻边，其中size[v]是以v为根的子树的节点个数，全部由重边组成的路径是重路径，根据论文上的证明，任意一点到根的路径上存在不超过logn条轻边和logn条重路径。

这样我们考虑用数据结构来维护重路径上的查询，轻边直接查询。

通常用来维护的数据结构是线段树，splay较少见。

具体步骤

预处理

第一遍dfs求出树每个结点的深度deep[x]，其为根的子树大小size[x]

以及祖先的信息fa[x][i]表示x往上距离为2^i的祖先

第二遍dfs

ž根节点为起点，向下拓展构建重链

选择最大的一个子树的根继承当前重链

其余节点，都以该节点为起点向下重新拉一条重链

ž给每个结点分配一个位置编号，每条重链就相当于一段区间，用数据结构去维护。

把所有的重链首尾相接，放到同一个数据结构上，然后维护这一个整体即可

修改操作

ž1、单独修改一个点的权值

根据其编号直接在数据结构中修改就行了。

2、修改点u和点v的路径上的权值

（1）若u和v在同一条重链上

直接用数据结构修改pos[u]至pos[v]间的值。

（2）若u和v不在同一条重链上

一边进行修改，一边将u和v往同一条重链上靠，然后就变成了情况（1）。

查询操作

ž查询操作的分析过程同修改操作

题目不同，选用不同的数据结构来维护值，通常有线段树和splay

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#define inf 0x7fffffff

#define N 30005

#define M 60005

using namespace std;

int n,q,cnt,sz;

int fa[N][15],v[N],deep[N],size[N],head[N];

int pos[N],belong[N];

bool vis[N];

struct data{int to,next;}e[M];

struct seg{int l,r,mx,sum;}t[100005];

void insert(int u,int v)

{

    e[++cnt].to=v;e[cnt].next=head[u];head[u]=cnt;

    e[++cnt].to=u;e[cnt].next=head[v];head[v]=cnt;

}

void ini()

{

    scanf("%d",&n);

    for(int i=1;i<n;i++)

    {

		int x,y;

		scanf("%d%d",&x,&y);

		insert(x,y);

	}

    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&v[i]);

}

void dfs1(int x)

{

    size[x]=1;vis[x]=1;

    for(int i=1;i<=14;i++)

    {

        if(deep[x] < (1<<i))break;

        fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];//倍增处理祖先信息

    }

    for(int i=head[x];i;i=e[i].next)

    {

        if(vis[e[i].to])continue;

        deep[e[i].to]=deep[x]+1;

        fa[e[i].to][0]=x;

        dfs1(e[i].to);

        size[x]+=size[e[i].to];

    }

}

void dfs2(int x,int chain)

{

    int k=0;sz++;

    pos[x]=sz;//分配x结点在线段树中的编号

	belong[x]=chain;

    for(int i=head[x];i;i=e[i].next)

        if(deep[e[i].to]>deep[x]&&size[e[i].to]>size[k])

            k=e[i].to;//选择子树最大的儿子继承重链

    if(k==0)return;

    dfs2(k,chain);

    for(int i=head[x];i;i=e[i].next)

        if(deep[e[i].to]>deep[x]&&k!=e[i].to)

            dfs2(e[i].to,e[i].to);//其余儿子新开重链

}

int lca(int x,int y)//求lca

{

    if(deep[x]<deep[y])swap(x,y);

    int t=deep[x]-deep[y];

    for(int i=0;i<=14;i++)

        if(t&(1<<i))x=fa[x][i];

    for(int i=14;i>=0;i--)

        if(fa[x][i]!=fa[y][i])

        {x=fa[x][i];y=fa[y][i];}

    if(x==y)return x;

    else return fa[x][0];

}

void build(int k,int l,int r)//建线段树

{

    t[k].l=l;t[k].r=r;

    if(l==r)return;

    int mid=(l+r)>>1;

    build(k<<1,l,mid);

    build(k<<1|1,mid+1,r);

}

void change(int k,int x,int y)//线段树单点修改

{

    int l=t[k].l,r=t[k].r,mid=(l+r)>>1;

    if(l==r){t[k].sum=t[k].mx=y;return;}

    if(x<=mid)change(k<<1,x,y);

    else change(k<<1|1,x,y);

    t[k].sum=t[k<<1].sum+t[k<<1|1].sum;

    t[k].mx=max(t[k<<1].mx,t[k<<1|1].mx);

}

int querysum(int k,int x,int y)//线段树区间求和

{

    int l=t[k].l,r=t[k].r,mid=(l+r)>>1;

    if(l==x&&y==r)return t[k].sum;

    if(y<=mid)return querysum(k<<1,x,y);

    else if(x>mid)return querysum(k<<1|1,x,y);

    else {return querysum(k<<1,x,mid)+querysum(k<<1|1,mid+1,y);}

}

int querymx(int k,int x,int y)//线段树区间求最大值

{

    int l=t[k].l,r=t[k].r,mid=(l+r)>>1;

    if(l==x&&y==r)return t[k].mx;

    if(y<=mid)return querymx(k<<1,x,y);

    else if(x>mid)return querymx(k<<1|1,x,y);

    else {return max(querymx(k<<1,x,mid),querymx(k<<1|1,mid+1,y));}

}

int solvesum(int x,int f)

{

    int sum=0;

    while(belong[x]!=belong[f])//不在一条重链上就将x跳到链首，走一条轻边，如此反复

    {

        sum+=querysum(1,pos[belong[x]],pos[x]);

        x=fa[belong[x]][0];

    }

    sum+=querysum(1,pos[f],pos[x]);

    return sum;

}

int solvemx(int x,int f)

{

    int mx=-inf;

    while(belong[x]!=belong[f])

    {

        mx=max(mx,querymx(1,pos[belong[x]],pos[x]));

        x=fa[belong[x]][0];

    }

    mx=max(mx,querymx(1,pos[f],pos[x]));

    return mx;

}

void solve()

{

    build(1,1,n);

    for(int i=1;i<=n;i++)

        change(1,pos[i],v[i]);

    scanf("%d",&q);char ch[6];

    for(int i=1;i<=q;i++)

    {

        int x,y;scanf("%s%d%d",ch,&x,&y);

        if(ch[0]=='C'){v[x]=y;change(1,pos[x],y);}

        else

        {

            int t=lca(x,y);

            if(ch[1]=='M')

                printf("%d\n",max(solvemx(x,t),solvemx(y,t)));

            else

                printf("%d\n",solvesum(x,t)+solvesum(y,t)-v[t]);

        }

    }

}

int main()

{

	freopen("in.in","r",stdin);

    ini();

    dfs1(1);

    dfs2(1,1);

    solve();

    return 0;

}