Eular质数筛法
小Hi:我们可以知道,任意一个正整数k,若k≥2,则k可以表示成若干个质数相乘的形式。Eratosthenes筛法中,在枚举k的每一个质因子时,我们都计算了一次k,从而造成了冗余。因此在改进算法中,只利用k的最小质因子去计算一次k。
首先让我们了解一下Eular筛法,其伪代码为:
isPrime[] = true
primeList = []
primeCount = 0
For i = 2 .. N
If isPrime[i] Then
primeCount = primeCount + 1
primeList[ primeCount ] = i
End If
For j = 1 .. primeCount
If (i * primeList[j] > N) Then
Break
End If
isPrime[ i * primeList[j] ] = false
If (i % primeList[j] == 0) Then
Break
End If
End For
End For
与Eratosthenes筛法不同的是,对于外层枚举i,无论i是质数,还是是合数,我们都会用i的倍数去筛。但在枚举的时候,我们只枚举i的质数倍。比如2i,3i,5i,...,而不去枚举4i,6i...,原因我们后面会讲到。
此外,在从小到大依次枚举质数p来计算i的倍数时,我们还需要检查i是否能够整除p。若i能够整除p,则停止枚举。
利用该算法,可以保证每个合数只会被枚举到一次。我们可以证明如下命题:
假设一个合数k=M*p1,p1为其最小的质因子。则k只会在i=M,primeList[j]=p1时被筛掉一次。
首先会在i=M,primeList[j]=p1时被筛掉是显然的。因为p1是k的最小质因子,所以i=M的所有质因子也≥p1。于是j循环在枚举到primeList[j]=p1前不会break,从而一定会在i=M,primeList[j]=p1时被筛掉
其次不会在其他时候被筛掉。否则假设k在i=N, primeList[j]=p1时被筛掉了,此时有k=N*p2。由于p1是k最小的质因子,所以p2 > p1,M > N且p|N。则i=N,j枚举到primeList[j]=p1时(没到primeList[j]=p2)就break了。所以不会有其他时候筛掉k。
同时,不枚举合数倍数的原因也在此:对于一个合数k=M*2*3。只有在枚举到i=M*3时,才会计算到k。若我们枚举合数倍数,则可能会在i=M时,通过M*6计算到k,这样也就造成了多次重复计算了。
综上,Eular筛法可以保证每个合数只会被枚举到一次,时间复杂度为O(n)。当N越大时,其相对于Eratosthenes筛法的优势也就越明显。
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