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题目传送门 - BZOJ1965


题意概括

  对于扑克牌的一次洗牌是这样定义的,将一叠N(N为偶数)张扑克牌平均分成上下两叠,取下面一叠的第一张作为新的一叠的第一张,然后取上面一叠的第一张作为新的一叠的第二张,再取下面一叠的第二张作为新的一叠的第三张……如此交替直到所有的牌取完。

  经过一次洗牌,序列1 2 3 4 5 6变为4 1 5 2 6 3。当然,再对得到的序列进行一次洗牌,又会变为2 4 6 1 3 5。 游戏是这样的,如果给定长度为N的一叠扑克牌,并且牌面大小从1开始连续增加到N(不考虑花色),对这样的一叠扑克牌,进行M次洗牌。

  扑克牌序列中第L张扑克牌的牌面大小是多少?


题解

  我们发现,一次操作其实就是把第i个位置的牌放到第(2*i) mod (n+1)个位置。

  于是我们可以列出方程:

  设答案为x,

  x • 2m Ξ L (mod (n + 1))

  mod (n+1)条件下,2 的逆元是 n/2+1

  故可以移项,得:

  x = (n / 2 + 1)m • L mod (n + 1)

  于是快速幂跑一跑就可以了。

  但是会有中间乘法溢出的情况。

  一位一位乘就可以了。


代码

  1. #include <cstring>
  2. #include <algorithm>
  3. #include <cstdio>
  4. #include <cmath>
  5. #include <cstdlib>
  6. using namespace std;
  7. typedef long long LL;
  8. LL n,m,L,mod;
  9. LL times(LL a,LL b){
  10. LL ans=0;
  11. for (int i=40;i>=0;i--){
  12. ans=(ans<<1)%mod;
  13. if ((b>>i)&1)
  14. ans=(ans+a)%mod;
  15. }
  16. return ans;
  17. }
  18. LL Pow(LL a,LL b){
  19. LL ans=1,now=a;
  20. while (b){
  21. if (b&1)
  22. ans=times(ans,now);
  23. now=times(now,now);
  24. b>>=1;
  25. }
  26. return ans;
  27. }
  28. int main(){
  29. scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&L);
  30. mod=n+1;
  31. printf("%lld",times(Pow(n/2+1,m),L));
  32. return 0;
  33. }

  

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