【algo&ds】7.最短路径问题

• 单源最短路径问题：从某固定源点出发，求其到所有其他顶点的最短路径

  • （有向）无权图：BFS
  • （有向）有权图：Dijkstra算法

• 多源最短路径问题：求任意两顶点间的最短路径

  • 直接将单源最短路算法调用|V|遍
  • Floyd算法

1.BFS算法求解单源无权图最短路径

1.1算法描述

广度优先搜索，开一个额外的数组存储每一个结点的访问状态，一层一层（取出队首元素，遍历所有相邻且未被访问的结点）的入队列，然后层数++

这里的额外数组就是dist[w]，指的是从源点到顶点w的最短路径长度，初始化为-1，判断未访问即==-1，如果未访问且存在边G[v][w]则dist[w] = dist[v] +1 ;

path数组用于保存每一个顶点w的前驱顶点v，也即这条最短路径（s->w）必定是从（s->....->v->w），通过栈来逆序输出path[w] 、path[path[w]]....

更加详细的算法示例可以参考视频

1.2代码实现

#include<iostream>
#include<stdlib.h>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<stack>
#define Init -1
#define MaxVertex  100
int path[MaxVertex];  // 存储路径，如果当前顶点v出队列，且存在顶点v->w的路径，则path[w] = v
int dist[MaxVertex];  // 存储路径长度,即从源顶点s到当前顶点w的最短路径dist[w]
int G[MaxVertex][MaxVertex]; // 图，采用邻接矩阵表示
int Ne;  // 顶点数
int Nv;  // 边
typedef int Vertex;
using namespace std;

void build(){
	int v1,v2;
	// 初始化点
	cin>>Nv;
	for(int i=1;i<=Nv;i++)
		for(int j=1;j<=Nv;j++)
		 	G[i][j] = 0;
	// 初始化路径
	for(int i=1;i<=Nv;i++)
		path[i] = Init;
	// 初始化路径长度
	for(int i=1;i<=Nv;i++)
		 dist[i] = Init;
	// 初始化边
	cin>>Ne;
	for(int i=0;i<Ne;i++){
		cin>>v1>>v2;
		G[v1][v2] = 1; // 有向图！
	}
}

void Unweighted(Vertex v){
	queue<Vertex> q;
	dist[v] = 0;  // 将自己的距离置 0 ，路径path[v]不变
	Vertex w;
	q.push(v);
	while(!q.empty()){
		 w = q.front();
		 q.pop();
		 for(int i=1;i<=Nv;i++)
		 	// 如果没被访问过，且连通
		 	if(dist[i]==Init && G[w][i]){
		 		dist[i] = dist[w]+1;  // 是上一步的距离 + 1
		 		path[i] = w;  // w 是上一步要走路径的下一步路径
		 		q.push(i);
		 	}
	}
}

// 获取路径
void getTail(Vertex v){
	for(int i=1;i<=Nv;i++){
		if(i==v)
			continue;
		stack<Vertex> s;
		cout<<v<<"到"<<i<<"的最短距离是："<<dist[i];
		Vertex w = i;
		// 当没到达起始起点前一直做循环
		while(path[w]!=Init){
			s.push(w);  // 入栈
			w = path[w];
		}
		// 逆序输出入栈元素，得到路径
		cout<<"    其路径为：";
		if(v != i)
			cout<<v;
		while(!s.empty()){
			// 输出栈顶元素
			cout<<"→"<<s.top();
			s.pop(); // 出栈
		}
		cout<<endl;
	}
}

int main(){
	build();
	Unweighted(3);
	getTail(3);
	return 0;
}

2.Dijkstra算法求解单源有权图最短路径

2.1算法描述

有权图的单源最短路算法可以使用Dijkstra算法实现，Dijkstra算法的基本思想是对图G(V,E)设置集合S，存放已被访问的顶点，然后每次从集合V-S中选择与起点s的最短距离最小的一个顶点（记为u），访问并加入集合S。之后，令顶点u为中间点，优化所有起点s通过点u能够到达的邻接点v之间的最短路径。这样的操作执行n次，直到集合S已包含所有顶点。

算法的伪码描述如下：

void Dijkstra( Vertex s ) {
	while (1) {
		V = 未收录顶点中dist最小者;
		if ( 这样的V不存在)
			break;
		collected[V] = true;
		for ( V 的每个邻接点W )
			if ( collected[W] == false )
				if ( dist[V]+E<V,W> < dist[W] ) {
					dist[W] = dist[V] + E<V,W> ;
					path[W] = V;
				}
	}
} /* 不能解决有负边的情况*/

引出了两个问题：

• 如何确定未收录顶点中dist最小者？
• 如何初始化dist[i]？

如何确定未收录顶点中dist最小者？

1.直接扫描所有未收录顶点，时间复杂度为– O( |V| )，总的时间复杂度为T = O( |V|^2 + |E| )对于稠密图效果好

2.将dist存在最小堆中，时间复杂度为– O( log|V| )，总的时间复杂度为T = O( |V| log|V| + |E| log|V| ) = O( |E| log|V| )，对于稀疏图效果好。

如何初始化dist[i]？

• 对于dist[0]，也就是源点可以直接初始化为0
• 对于存在边G[0][w]，则dist[w]可以直接初始化为顶点s到顶点w的边权
• 其它的顶点w，初始化为infinity（无穷大）

• 初始状态，两个数组的初始化如上图所示

对于算法的详细示例可以参考视频

2.2代码实现

#include<iostream>
#include<stdlib.h>
#define Inf 1000000
#define Init -1
#define MaxVertex 100
typedef int Vertex;
int G[MaxVertex][MaxVertex];
int dist[MaxVertex];  // 距离
int path[MaxVertex];  // 路径
int collected[MaxVertex];  // 被收录集合
int Nv;   // 顶点
int Ne;   // 边
using namespace std;

// 初始化图信息
void build(){
	Vertex v1,v2;
	int w;
	cin>>Nv;
	// 初始化图
	for(int i=1;i<=Nv;i++)
		for(int j=1;j<=Nv;j++)
			G[i][j] = 0;
	// 初始化路径
	for(int i=1;i<=Nv;i++)
		path[i] = Init;
	// 初始化距离
	for(int i=0;i<=Nv;i++)
		dist[i] = Inf;
	// 初始化收录情况
	for(int i=1;i<=Nv;i++)
		collected[i] = false;
	cin>>Ne;
	// 初始化点
	for(int i=0;i<Ne;i++){
		cin>>v1>>v2>>w;
		G[v1][v2] = w;  // 有向图
	}
}

// 初始化距离和路径信息
void crate(Vertex s){
	dist[s] = 0;
	collected[s] = true;
	for(int i=1;i<=Nv;i++)
		if(G[s][i]){
			dist[i] = G[s][i];
			path[i] = s;
		}
}

// 查找未收录顶点中dist最小者
Vertex FindMin(Vertex s){
	int min = 0;  // 之前特地把 dist[0] 初始化为正无穷
	for(Vertex i=1;i<=Nv;i++)
		if(i != s && dist[i] < dist[min] && !collected[i])
			min = i;
	return min;
}

void Dijkstra(Vertex s){
	crate(s);
	while(true){
		Vertex V = FindMin(s);   // 找到
		if(!V)
			break;
		collected[V] = true;  //收录
		for(Vertex W=1;W<=Nv;W++)
			if(!collected[W] && G[V][W]){  // 如果未被收录
				if(dist[V] + G[V][W] < dist[W]){
					dist[W] = G[V][W] + dist[V];
					path[W] = V;
				}
			}
	}
}

void output(){
	for(int i=1;i<=Nv;i++)
		cout<<dist[i]<<" ";
	cout<<endl;
	for(int i=1;i<=Nv;i++)
		cout<<path[i]<<" ";
	cout<<endl;
}

int main(){
	build();
	Dijkstra(1);
	output();
	return 0;
}

3.Floyd算法求解多源最短路径算法

#include<iostream>
#include<stdlib.h>
#define INF 1000000
#define MaxVertex 100
typedef int Vertex;
int G[MaxVertex][MaxVertex];
int dist[MaxVertex][MaxVertex];  // 距离
int path[MaxVertex][MaxVertex];  // 路径
int Nv;   // 顶点
int Ne;   // 边
using namespace std;

// 初始化图信息
void build(){
	Vertex v1,v2;
	int w;
	cin>>Nv;
	// 初始化图
	for(int i=1;i<=Nv;i++)
		for(int j=1;j<=Nv;j++)
			G[i][j] = INF;
	cin>>Ne;
	// 初始化点
	for(int i=0;i<Ne;i++){
		cin>>v1>>v2>>w;
		G[v1][v2] = w;
		G[v2][v1] = w;
	}
}

void Floyd(){
	for(Vertex i=1;i<=Nv;i++)
		for(Vertex j=1;j<=Nv;j++){
			dist[i][j] = G[i][j];
			path[i][j] = -1;
		}
	for(Vertex k=1;k<=Nv;k++)
		for(Vertex i=1;i<=Nv;i++)
			for(Vertex j=1;j<=Nv;j++)
				if(dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j]){
					dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];
					path[i][j] = k;
				}
} 

void output(){
	for(Vertex i=1;i<=Nv;i++){
		for(Vertex j=1;j<=Nv;j++)
			cout<<dist[i][j]<<" ";
		cout<<endl;
	}
	cout<<endl;
	for(Vertex i=1;i<=Nv;i++){
		for(Vertex j=1;j<=Nv;j++)
			cout<<path[i][j]<<" ";
		cout<<endl;
	}
}

int main(){
	build();
	Floyd();
	output();
	return 0;
}

更多详细的算法描述请参考视频

以及文章