Loj10222佳佳的 Fibonacci

Description

Analysis

10分：暴力+把m和n输反，你将获得10分的好成绩(Just like me.)

70分：暴力+把m和n输对，你将获得70分的好成绩

100分：矩阵加速

设

$ T(n)=1F_1+2F_2+3F_3+......+nF_n $

\(S(n)=F_1+F_2+F_3+......+F_n\)

则有：

\(n*S(n)-T(n)=(n-1)*F_1+(n-2)*F_2+(n-3)*F_3+......+1*F_{n-1}\)

移项可得

\(T(n)=n*S(n)-(n-1)*F_1+(n-2)*F_2+(n-3)*F_3+......+1*F_{n-1}\)

客官且慢，观察可以发现

\((n-1)*F_1+(n-2)*F_2+(n-3)*F_3+......+1*F_{n-1}\)

不就是S(1)~S(n-1)的前缀和么

所以再设

\(G(n)=G(n-1)+S(n)\)

但一项一项来太慢了

用矩阵加速吧

于是设矩阵

\([F(n-1),F(n),S(n),G(n)]\)

转移矩阵自然出来了

\([0,1,1,1]\)

\([1,1,1,1]\)

\([0,0,1,1]\)

\([0,0,0,1]\)

差一点就成阶梯矩阵了呢

So：

70：

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll n,mod,now,ans=3,a=1,b=1;
int main(){
	cin>>n>>mod;
	if(n==1){cout<<1%mod;return 0;}
	if(n==2){cout<<3%mod;return 0;}
	for(register int i=3;i<=n;++i){
		now=(a+b)%mod;
		a=b,b=now,ans=(ans+i%mod*now%mod)%mod;
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}

100：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define re register
#define in inline
#define int long long
in int read()
{
	int s(0),b(0);char ch;
	do{ch=getchar();if(ch=='-')b=-1;}while(ch<'0'||ch>'9');
	while(ch>='0'&&ch<='9') s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48),ch=getchar();
	return b?-s:s;
}
int n,m;
struct mat{
	int v[5][5];
	mat operator*(const mat &t)const
		{
			mat c;
			memset(c.v,0,sizeof(c.v));
			for(re int i=1;i<=4;++i)
				for(re int j=1;j<=4;++j)
					for(re int k=1;k<=4;++k)
						c.v[i][j]=(c.v[i][j]+v[i][k]*t.v[k][j]%m)%m;
			return c;
		}
}I,S,T;
in mat ksm(mat ba,int k)
{
	mat ans=I;
	while(k)
	{
		if(k&1) ans=ans*ba;
		k>>=1;
		ba=ba*ba;
	}
	return ans;
}
signed main()
{
	n=read(),m=read();
	I.v[1][1]=I.v[2][2]=I.v[3][3]=I.v[4][4]=1;
	S.v[1][1]=S.v[1][2]=S.v[1][3]=S.v[1][4]=1;
	T.v[1][1]=T.v[2][1]=T.v[2][2]=T.v[3][1]=T.v[3][2]=T.v[3][3]=T.v[3][4]=T.v[4][3]=1;
	if(n==1){
		printf("%lld\n",1ll%m);
		return 0;
	}
	S=S*ksm(T,n-2);
	int pn1=S.v[1][1];
	S=S*T;
	printf("%lld\n",(n%m*S.v[1][2]%m-pn1+m)%m);
	return 0;
}