NC16417 [NOIP2017]奶酪
题目
题目描述
现有一块大奶酪,它的高度为 h,它的长度和宽度我们可以认为是无限大的,奶酪中间有许多半径相同的球形空洞。我们可以在这块奶酪中建立空间坐标系, 在坐标系中,奶酪的下表面为 z = 0,奶酪的上表面为 z = h。
现在, 奶酪的下表面有一只小老鼠 Jerry, 它知道奶酪中所有空洞的球心所在的坐标。如果两个空洞相切或是相交,则 Jerry 可以从其中一个空洞跑到另一个空洞,特别地,如果一个空洞与下表面相切或是相交, Jerry 则可以从奶酪下表面跑进空洞; 如果一个空洞与上表面相切或是相交, Jerry 则可以从空洞跑到奶酪上表面。
位于奶酪下表面的 Jerry 想知道, 在不破坏奶酪的情况下,能否利用已有的空洞跑到奶酪的上表面去?
空间内两点 P1(x1,y1,z1) 、P2(x2,y2,z2) 的距离公式如下:
\(dist(P_1,P_2)=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}\)
输入描述
每个输入文件包含多组数据。
输入文件的第一行,包含一个正整数 T,代表该输入文件中所含的数据组数。
接下来是 T 组数据,每组数据的格式如下:
第一行包含三个正整数 n, h 和 r, 两个数之间以一个空格分开,分别代表奶酪中空洞的数量,奶酪的高度和空洞的半径。
接下来的 n 行,每行包含三个整数 x, y, z, 两个数之间以一个空格分开, 表示空洞球心坐标为 (x,y,z)。
输出描述
输出文件包含 T 行,分别对应 T 组数据的答案,如果在第 i 组数据中, Jerry 能从下表面跑到上表面,则输出“Yes”,如果不能,则输出“No”(均不包含引号)。
示例1
输入
3
2 4 1
0 0 1
0 0 3
2 5 1
0 0 1
0 0 4
2 5 2
0 0 2
2 0 4
输出
Yes
No
Yes
说明
备注
对于 20%的数据, n = 1, 1 ≤ h , r ≤ 10,000,坐标的绝对值不超过 10,000。
对于 40%的数据, 1 ≤ n ≤ 8, 1 ≤ h , r ≤ 10,000,坐标的绝对值不超过 10,000。
对于 80%的数据,1 ≤ n ≤ 1,000, 1 ≤ h , r ≤ 10,000,坐标的绝对值不超过 10,000。
对于 100%的数据, 1 ≤ n ≤ 1,000, 1 ≤ h , r ≤ 1,000,000,000, T ≤ 20,坐标的绝对值不超过 1,000,000,000。
题解
方法一
知识点:计算几何,并查集。
这道题可以用带权并查集维护空球体之间的连通性,以及集合的 \(z\) 坐标上下限。每次读入一个球心坐标,其自身作为一个集合的 \(z\) 上限是 半径加球心 \(z\) 坐标,下限就是球心 \(z\) 坐标减去半径。随后暴力搜索所有已有球体是否与其连通,球心距离小于等于两倍半径即相交或者相切,则合并集合,并且更新集合权值。
注意的是多组输入数据不能中途跳出,会导致不完全输入影响下一次输入。
还要注意浮点数精度问题,一般能用整数运算尽量用整数,这里要注意超长整型的问题,在计算球心距离时先判断 \(x\) 和 \(y\) 平面距离,再判断空间距离。不过,这道题数据没有卡浮点。
时间复杂度 \(O(n^2 \log n)\)
空间复杂度 \(O(n)\)
方法二
知识点:DFS,计算几何。
先保存每个球的坐标,然后对每个与下表面连接的球遍历连通块,如果块中某个与上表面连接就说明连通上下了,否则返回 false
。
时间复杂度 \(O(n^2)\)
空间复杂度 \(O(n)\)
代码
方法一
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int fa[1007];
double hmn[1007], hmx[1007];
struct Point {
double x, y, z;
}p[1007];
double dist(Point a, Point b) {
return sqrt((a.x - b.x) * (a.x - b.x) + (a.y - b.y) * (a.y - b.y) + (a.z - b.z) * (a.z - b.z));
}///double有可能有精度问题,能用整数就用
int find(int x) {
return fa[x] == x ? x : fa[x] = find(fa[x]);
}
bool solve() {
int n;
double h, r;
cin >> n >> h >> r;
for (int i = 1;i <= n;i++) fa[i] = i, cin >> p[i].x >> p[i].y >> p[i].z;///多组数据一定要保证输入完,不然后面数据会到下一组然后炸掉
for (int i = 1;i <= n;i++) {
hmn[i] = p[i].z - r;
hmx[i] = p[i].z + r;
for (int j = 1;j <= i;j++) {
if (dist(p[i], p[j]) <= 2 * r) {
int a = find(i);
int b = find(j);
fa[a] = b;
hmx[b] = max(hmx[b], hmx[a]);
hmn[b] = min(hmn[b], hmn[a]);
if (hmx[b] >= h && hmn[b] <= 0) return true;
///不能跳出,也许有很多集合相连
}
}
}
return false;
}
int main() {
std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
int t = 1;
cin >> t;
while (t--) {
if (!solve()) cout << "No" << '\n';
else cout << "Yes" << '\n';
}
return 0;
}
方法二
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int n;
double h, r;
struct Point {
double x, y, z;
}a[1007];
bool vis[1007];
double dist(Point A, Point B) {
return sqrt((A.x - B.x) * (A.x - B.x) + (A.y - B.y) * (A.y - B.y) + (A.z - B.z) * (A.z - B.z));
}
bool dfs(int x) {
if (a[x].z + r >= h) return true;
for (int i = 0;i < n;i++) {
if (vis[i] || dist(a[x], a[i]) > 2 * r) continue; ///访问过的 或者 距离不够的 不搜索
vis[i] = 1;
if (dfs(i)) return true;
}
return false;
}
bool solve() {
memset(vis, 0, sizeof(vis));
cin >> n >> h >> r;
for (int i = 0;i < n;i++) cin >> a[i].x >> a[i].y >> a[i].z;
for (int i = 0;i < n;i++) {
if (vis[i] || a[i].z - r > 0) continue; ///访问过的 或者 不能联通底层的 不做为起点
vis[i] = 1;
if (dfs(i)) return true;
}
return false;
}
int main() {
std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
int t = 1;
cin >> t;
while (t--) {
if (!solve()) cout << "No" << '\n';
else cout << "Yes" << '\n';
}
return 0;
}
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