Lucas-Washburn + Cassie-Baxter

如果粉末间隙内壁的表面能随着润湿而降低，则液体会向管内上升渗入（\(\gamma_{\text{SL}}<\gamma_{\text{SO}}\)）。

考虑液体上升的驱动力来自于附加压力，则由弯曲表面附加压力 Young-Laplace 方程，驱动力为：

\[F=pS=\frac{2\gamma\cos\theta}R\pi R^2=2\pi R\gamma\cos\theta
\]

间隙内的粘性摩擦力由 Poiseuille 定律给出，其表达式为：

\[F_\eta=8\pi\eta vh
\]

式中 \(v\) 代表上升平均速率，\(h\) 代表液体上升高度。

考虑运动过程，可列出方程

\[\frac{\mathrm d(MV)}{\mathrm dt}=F-F_\eta-W
\]

式中 \(W\) 代表重力，\(W=\rho g\pi R^2h\)。

一般而言，间隙是很细的，液体的运动也很缓慢。而且众所周知，小管子里还有边界层效应，其实速度是很小的，与摩檫力相比，惯性项可以忽略！直接一波简化！

\[\begin{matrix}
\displaystyle F-W=F_\eta \\[1ex]
\displaystyle 2\pi R\gamma\cos\theta-\rho g\pi R^2h=8\pi\eta vh
\end{matrix}
\]

直接再简化，忽略 \(W\)！有

\[2\pi R\gamma\cos\theta=8\pi\eta vh=8\pi\eta\frac{\mathrm dh}{\mathrm dt}h
\]

积分易得

\[h=\sqrt{\frac{\gamma R\cos\theta}{2\eta}t}
\]

上式就是 Washburn 方程，又称 Lucas-Washburn 方程，又称 Bell-Cameron-Lucas-Washburn 方程，名字一听就非常厉害。定性地讲，\(h\propto\sqrt t\)。

式中 \(\theta\) 代表接触角。Cassie 定律用于描述液体固体接触时的接触角，复合材料的接触角为

\[\cos\theta_c=\sigma_1\cos\theta_1+\sigma_2\cos\theta_2
\]

Cassie 和 Baxter 扩展了粗糙度影响的概念，对于多孔介质，液体不穿透沟槽而是留下一个空气间隙，有

\[\cos\theta_c=\sigma_1\left(\cos\theta_1+1\right)-1
\]

如果我们试图计算以下渗透深度呢？水表面张力取 \(\gamma=72~\text{mN/m}\)，粘度取 \(\eta=0.89~\text{mPa}\cdot\text s\)，间隙只能按粉末粒径瞎估一个 \(R=1\sim5~\mu\text m\)，接触角查到的其实是 \(90\) 度以上了，但那样算出来就是完全无法渗透，我们只能瞎估一个 \(89\) 度好了，虽然不太科学，但应该大家不会在意。取 \(t=10~\text s\)，如果代入 \(R=1~\mu\text m\)，则 \(h=\sqrt{\dfrac{72\times10^{-3}\times1\times10^{-6}\cos89^\circ}{2\times10^{-3}}\times10}\approx4.2~\text{mm}\)。