kruskal算法【最小生成树2】

设G=（V，E）是无向连通带权图，V={1，2，…，n}；

设最小生成树T=（V，TE），该树的初始状态为只有n个顶点而无边的非连通图T=（V，{}），Kruskal算法将这n个顶点看成是n个孤立的连通分支。

它首先将所有的边按权值从小到大排序，然后只要T中选中的边数不到n-1，就做如下的贪心选择：

在边集E中选取权值最小的边（i，j），如果将边（i，j）加入集合TE中不产生回路（圈），则将边（i，j）加入边集TE中，即用边（i，j）将这两个连通分支合并连接成一个连通分支；

否则继续选择下一条最短边。把边（i，j）从集合E中删去。

继续上面的贪心选择，直到T中所有顶点都在同一个连通分支上为止。

此时，选取到的n-1条边恰好构成G的一棵最小生成树T。

那么，怎样判断加入某条边后图T会不会出现回路呢？

该算法对于手工计算十分方便，因为用肉眼可以很容易看到挑选哪些边能够避免构成回路（避圈法），但使用计算机程序来实现时，还需要一种机制来进行判断。

Kruskal算法用了一个非常聪明的方法，就是运用集合避圈：

如果所选择加入的边的起点和终点都在T的集合中，那么就可以断定一定会形成回路（圈）。其实就是我们前面提到的“避圈法”：边的两个结点不能属于同一集合。

步骤1：初始化。将图G的边集E中的所有边按权值从小到大排序，边集TE={}，把每个顶点都初始化为一个孤立的分支，即一个顶点对应一个集合。

步骤2：在E中寻找权值最小的边（i，j）。

步骤3：如果顶点i和位于两个不同连通分支，则将边（i，j）加入边集TE，并执行合并操作，将两个连通分支进行合并【即两个顶点设置成同一个集合号，一般向小集合号合并】。

步骤4：将边（i，j）从集合E中删去，即E=E-{（i，j）}。

步骤5：如果选取边数小于n-1，转步骤2；否则，算法结束，生成最小生成树了。

适用范围：要求无向图

kruskal算法（读者可以将其读作“克鲁斯卡尔算法”同样是解决最小生成树问题的一个算法。和prim算法不同，kruskal算法采用了边贪心的策略，其思想极其简洁，理解难度比prim算法要低很多。

kruskal算法的基本思想为：在初始状态时隐去图中的所有边，这样图中每个顶点都自成一个连通块。

之后执行下面的步骤：

①对所有边按边权从小到大进行排序。

②按边权从小到大测试所有边，如果当前测试边所连接的两个顶点不在同一个连通块中，则把这条测试边加入当前最小生成树中；否则，将边舍弃。

③执行步骤②，直到最小生成树中的边数等于总顶点数减1或是测试完所有边时结束。

而当结束时如果最小生成树的边数小于总顶点数减1，说明该图不连通。

接下来以图10-51a为例，给出对该图执行kruskal算法的步骤。

①当前图中边权最小的边为V。V，权值为1。由于Vo和V4在不同的连通块中，因此把边VoVa加入最小生成树中，此时最小生成树中有1条边，权值之和为1，如图10-51所示。

因此，kruskal算法的思想简单说来就是：

每次选择图中最小边权的边，如果边两端的顶点在不同的连通块中，就把这条边加入最小生成树中。

 //边集定义部分
 struct edge
 {
     int u，v；//边的两个端点编号
     int cost；//边权
 }E[MAXE]；//最多有MAXE条边
 
 bool cmp(edge a，edge b)
 {
     return a.cost <b.cost；
 }
 
 //并查集部分
 int father[MAXV]；//并查集数组
 int findFather(int x)
 {//并查集查询函数
     int a=x；
     while(x！=father[x])
         x=father[x]；
     //路径压缩
     while(a！=father[a])
     {
         int z = a；
         a = father[a]；
         father[z]=x；
     }
     return x；
 }
 
 //kruskal部分，返回最小生成树的边权之和，参数n为顶点个数，m为图的边数
 int kruskal(int n，int m)
 {//ans为所求边权之和，Num Edge为当前生成树的边数
     int ans=，Num Edge=；
     for(int i=；i<n；i++)//顶点范围是[0，n-1]
         father[i]=i；//并查集初始化
     sort(E，E+m，cmp)；//所有边按边权从小到大排序
     for(int i=；i<m；i++)
     {//枚举所有边
         int faU=findFather(E[i].u)；//查询测试边两个端点所在集合的根结点
         int faV=findFather(E[i].v)；
         if(faU！=faV)
         {//如果不在一个集合中
             father[faU]=faV；//合并集合(即把测试边加入最小生成树中)
             ans += E[i].cost；//边权之和增加测试边的边权
             Num_Edge++；//当前生成树的边数加1
             if(Num_Edge == n-)
                 break；//边数等于顶点数减1时结束算法
         }
     }
     if(Num_Edge！=n-)
         return -；//无法连通时返回-1
     else
         return ans；//返回最小生成树的边权之和
 }