Python统计学statistics实战

python机器学习-乳腺癌细胞挖掘（博主亲自录制视频）

https://study.163.com/course/introduction.htm?courseId=1005269003&utm_campaign=commission&utm_source=cp-400000000398149&utm_medium=share

http://www.kancloud.cn/wizardforcel/scipy-lecture-notes/129877参考

In [1]:

%matplotlib inline

import numpy as np

作者 : Gaël Varoquaux

必要条件

标准Python科学计算环境 (numpy, scipy, matplotlib)
Pandas
Statsmodels
Seaborn

要安装Python及这些依赖，推荐下载Anaconda Python 或 Enthought Canopy, 如果你使用Ubuntu或其他linux更应该使用包管理器。

也可以看一下: Python中的贝叶斯统计

本章并不会涉及贝叶斯统计工具。适用于贝叶斯模型的是PyMC, 在Python中实现了概率编程语言。

为什么统计学要用Python?

R是一门专注于统计学的语言。Python是带有统计学模块的通用编程语言。R比Python有更多的统计分析功能，以及专用的语法。但是，当面对构建复杂的分析管道，混合统计学以及例如图像分析、文本挖掘或者物理实验控制，Python的富有就是物价的优势。

内容

数据表征和交互
- 数据作为表格
- panda data-frame
假设检验: 对比两个组
- Student’s t-test: 最简单的统计检验
- 配对实验: 对同一个体的重复测量
线性模型、多因素和方差分析
- 用“公式” 来在Python中指定统计模型
- 多元回归: 包含多元素
- 事后假设检验: 方差分析 (ANOVA)
更多的可视化: 用seaborn来进行统计学探索
- 配对图: 散点矩阵
- lmplot: 绘制一个单变量回归
交互作用检验

免责声明: 性别问题

本教程中的一些实例选自性别问题。其原因是在这种问题上这种控制的声明实际上影响了很多人。

3.1.1 数据表征和交互

3.1.1.1 数据作为表格

统计分析中我们关注的设定是通过一组不同的属性或特征来描述多个观察或样本。然后这个数据可以被视为2D表格，或矩阵，列是数据的不同属性，行是观察。例如包含在examples/brain_size.csv的数据:

"";"Gender";"FSIQ";"VIQ";"PIQ";"Weight";"Height";"MRI_Count" "1";"Female";133;132;124;"118";"64.5";816932 "2";"Male";140;150;124;".";"72.5";1001121 "3";"Male";139;123;150;"143";"73.3";1038437 "4";"Male";133;129;128;"172";"68.8";965353 "5";"Female";137;132;134;"147";"65.0";951545

3.1.1.2 panda data-frame

我们将会在来自pandas模块的pandas.DataFrame中存储和操作这个数据。它是电子表格程序在Python中的一个等价物。它与2D numpy数据的区别在于列带有名字，可以在列中存储混合的数据类型，并且有精妙的选择和透视表机制。

3.1.1.2.1 创建dataframes: 读取数据文件或转化数组

从CSV文件读取: 使用上面的CSV文件，给出了大脑大小重量和IQ (Willerman et al. 1991) 的观察值 , 数据混合了数量值和类型值:

In [3]:

import pandas

data = pandas.read_csv('examples/brain_size.csv', sep=';', na_values=".")

data

Out[3]:

Unnamed: 0	Gender	FSIQ	VIQ	PIQ	Weight	Height	MRI_Count
0	1	Female	133	132	124	118	64.5	816932
1	2	Male	140	150	124	NaN	72.5	1001121
2	3	Male	139	123	150	143	73.3	1038437
3	4	Male	133	129	128	172	68.8	965353
4	5	Female	137	132	134	147	65.0	951545
5	6	Female	99	90	110	146	69.0	928799
6	7	Female	138	136	131	138	64.5	991305
7	8	Female	92	90	98	175	66.0	854258
8	9	Male	89	93	84	134	66.3	904858
9	10	Male	133	114	147	172	68.8	955466
10	11	Female	132	129	124	118	64.5	833868
11	12	Male	141	150	128	151	70.0	1079549
12	13	Male	135	129	124	155	69.0	924059
13	14	Female	140	120	147	155	70.5	856472
14	15	Female	96	100	90	146	66.0	878897
15	16	Female	83	71	96	135	68.0	865363
16	17	Female	132	132	120	127	68.5	852244
17	18	Male	100	96	102	178	73.5	945088
18	19	Female	101	112	84	136	66.3	808020
19	20	Male	80	77	86	180	70.0	889083
20	21	Male	83	83	86	NaN	NaN	892420
21	22	Male	97	107	84	186	76.5	905940
22	23	Female	135	129	134	122	62.0	790619
23	24	Male	139	145	128	132	68.0	955003
24	25	Female	91	86	102	114	63.0	831772
25	26	Male	141	145	131	171	72.0	935494
26	27	Female	85	90	84	140	68.0	798612
27	28	Male	103	96	110	187	77.0	1062462
28	29	Female	77	83	72	106	63.0	793549
29	30	Female	130	126	124	159	66.5	866662
30	31	Female	133	126	132	127	62.5	857782
31	32	Male	144	145	137	191	67.0	949589
32	33	Male	103	96	110	192	75.5	997925
33	34	Male	90	96	86	181	69.0	879987
34	35	Female	83	90	81	143	66.5	834344
35	36	Female	133	129	128	153	66.5	948066
36	37	Male	140	150	124	144	70.5	949395
37	38	Female	88	86	94	139	64.5	893983
38	39	Male	81	90	74	148	74.0	930016
39	40	Male	89	91	89	179	75.5	935863

分割符 它是CSV文件，但是分割符是”;”

缺失值 CSV中的第二个个体的weight是缺失的。如果我们没有指定缺失值 (NA = not available) 标记符, 我们将无法进行统计分析。

从数组中创建: pandas.DataFrame 也可以视为1D序列, 例如数组或列表的字典，如果我们有3个numpy数组:

In [4]:

import numpy as np

t = np.linspace(-6, 6, 20)

sin_t = np.sin(t)

cos_t = np.cos(t)

我们可以将他们暴露为pandas.DataFrame:

In [5]:

pandas.DataFrame({'t': t, 'sin': sin_t, 'cos': cos_t})

Out[5]:

cos	sin	t
0	0.960170	0.279415	-6.000000
1	0.609977	0.792419	-5.368421
2	0.024451	0.999701	-4.736842
3	-0.570509	0.821291	-4.105263
4	-0.945363	0.326021	-3.473684
5	-0.955488	-0.295030	-2.842105
6	-0.596979	-0.802257	-2.210526
7	-0.008151	-0.999967	-1.578947
8	0.583822	-0.811882	-0.947368
9	0.950551	-0.310567	-0.315789
10	0.950551	0.310567	0.315789
11	0.583822	0.811882	0.947368
12	-0.008151	0.999967	1.578947
13	-0.596979	0.802257	2.210526
14	-0.955488	0.295030	2.842105
15	-0.945363	-0.326021	3.473684
16	-0.570509	-0.821291	4.105263
17	0.024451	-0.999701	4.736842
18	0.609977	-0.792419	5.368421
19	0.960170	-0.279415	6.000000

其他输入: pandas 可以从SQL、excel文件或者其他格式输入数。见pandas文档。

3.1.1.2.2 操作数据

data是pandas.DataFrame, 与R的dataframe类似:

In [6]:

data.shape    # 40行8列

Out[6]:

(40, 8)

In [7]:

data.columns  # 有列

Out[7]:

Index([u'Unnamed: 0', u'Gender', u'FSIQ', u'VIQ', u'PIQ', u'Weight', u'Height',

       u'MRI_Count'],

      dtype='object')

In [8]:

print(data['Gender'])  # 列可以用名字访问

0     Female

1       Male

2       Male

3       Male

4     Female

5     Female

6     Female

7     Female

8       Male

9       Male

10    Female

11      Male

12      Male

13    Female

14    Female

15    Female

16    Female

17      Male

18    Female

19      Male

20      Male

21      Male

22    Female

23      Male

24    Female

25      Male

26    Female

27      Male

28    Female

29    Female

30    Female

31      Male

32      Male

33      Male

34    Female

35    Female

36      Male

37    Female

38      Male

39      Male

Name: Gender, dtype: object

In [9]:

# 简单选择器

data[data['Gender'] == 'Female']['VIQ'].mean()

Out[9]:

109.45

注意: 对于一个大dataframe的快速预览，用它的describe方法: pandas.DataFrame.describe()。

groupby: 根据类别变量的值拆分dataframe:

In [10]:

groupby_gender = data.groupby('Gender')

for gender, value in groupby_gender['VIQ']:

    print((gender, value.mean()))

('Female', 109.45)

('Male', 115.25)

groupby_gender是一个强力的对象，暴露了结果dataframes组的许多操作:

In [11]:

groupby_gender.mean()

Out[11]:

Unnamed: 0	FSIQ	VIQ	PIQ	Weight	Height	MRI_Count
Gender
Female	19.65	111.9	109.45	110.45	137.200000	65.765000	862654.6
Male	21.35	115.0	115.25	111.60	166.444444	71.431579	954855.4

在groupby_gender上使用tab-完成来查找更多。其他的常见分组函数是median, count (对于检查不同子集的缺失值数量很有用) 或sum。Groupby评估是懒惰模式，因为在应用聚合函数之前不会进行什么工作。

练习

完整人口VIO的平均值是多少?

这项研究中包含了多少男性 / 女性?

提示使用‘tab完成’来寻找可以调用的方法, 替换在上面例子中的‘mean’。

对于男性和女性来说，以log为单位显示的MRI count平均值是多少?

注意: 上面的绘图中使用了groupby_gender.boxplot (见这个例子)。

3.1.1.2.3 绘制数据

Pandas提供一些绘图工具 (pandas.tools.plotting, 后面使用的是matplotlib) 来显示在dataframes数据的统计值:

散点图矩阵:

In [15]:

from pandas.tools import plotting

plotting.scatter_matrix(data[['Weight', 'Height', 'MRI_Count']])

Out[15]:

array([[<matplotlib.axes._subplots.AxesSubplot object at 0x105c34810>,

        <matplotlib.axes._subplots.AxesSubplot object at 0x10a0ade10>,

        <matplotlib.axes._subplots.AxesSubplot object at 0x10a2d80d0>],

       [<matplotlib.axes._subplots.AxesSubplot object at 0x10a33b210>,

        <matplotlib.axes._subplots.AxesSubplot object at 0x10a3be450>,

        <matplotlib.axes._subplots.AxesSubplot object at 0x10a40d9d0>],

       [<matplotlib.axes._subplots.AxesSubplot object at 0x10a49dc10>,

        <matplotlib.axes._subplots.AxesSubplot object at 0x10a51f850>,

        <matplotlib.axes._subplots.AxesSubplot object at 0x10a5902d0>]], dtype=object)

/Library/Frameworks/Python.framework/Versions/2.7/lib/python2.7/site-packages/matplotlib/collections.py:590: FutureWarning: elementwise comparison failed; returning scalar instead, but in the future will perform elementwise comparison

  if self._edgecolors == str('face'):

In [16]:

plotting.scatter_matrix(data[['PIQ', 'VIQ', 'FSIQ']])

Out[16]:

array([[<matplotlib.axes._subplots.AxesSubplot object at 0x10a918b50>,

        <matplotlib.axes._subplots.AxesSubplot object at 0x10aa38710>,

        <matplotlib.axes._subplots.AxesSubplot object at 0x10ab29910>],

       [<matplotlib.axes._subplots.AxesSubplot object at 0x10ab8e790>,

        <matplotlib.axes._subplots.AxesSubplot object at 0x10ae207d0>,

        <matplotlib.axes._subplots.AxesSubplot object at 0x10abbd090>],

       [<matplotlib.axes._subplots.AxesSubplot object at 0x10af140d0>,

        <matplotlib.axes._subplots.AxesSubplot object at 0x10af89cd0>,

        <matplotlib.axes._subplots.AxesSubplot object at 0x10affa410>]], dtype=object)

两个总体

IQ指标是双峰的, 似乎有两个子总体。

练习

只绘制男性的散点图矩阵，然后是只有女性的。你是否认为2个子总体与性别相关?

3.1.2 假设检验: 比较两个组

对于简单的统计检验，我们将可以使用scipy的子摸块scipy.stats:

In [17]:

from scipy import stats

也看一下: Scipy是一个很大的库。关于整个库的快速预览，可以看一下scipy 章节。

3.1.2.1 Student’s t检验: 最简单的统计检验

3.1.2.1.1 单样本 t-检验: 检验总体平均数的值

scipy.stats.ttest_1samp()检验数据总体的平均数是否可能等于给定值 (严格来说是否观察值来自于给定总体平均数的正态分布)。它返回一个T统计值以及p-值 (见函数的帮助):

In [18]:

stats.ttest_1samp(data['VIQ'], 0)

Out[18]:

(30.088099970849328, 1.3289196468728067e-28)

根据$10^-28$的p-值，我们可以声称IQ(VIQ的测量值)总体平均数不是0。

3.1.2.1.2 双样本 t-检验: 检验不同总体的差异

我们已经看到男性和女性总体VIQ平均数是不同的。要检验这个差异是否是显著的，我们可以用scipy.stats.ttest_ind()进行双样本检验:

In [19]:

female_viq = data[data['Gender'] == 'Female']['VIQ']

male_viq = data[data['Gender'] == 'Male']['VIQ']

stats.ttest_ind(female_viq, male_viq)

Out[19]:

(-0.77261617232750113, 0.44452876778583217)

3.1.2.2 配对实验: 同一个体的重复测量

PIQ、VIQ和FSIQ给出了IQ的3种测量值。让我检验一下FISQ和PIQ是否有显著差异。我们可以使用双样本检验:

In [20]:

stats.ttest_ind(data['FSIQ'], data['PIQ'])

Out[20]:

(0.46563759638096403, 0.64277250094148408)

使用这种方法的问题是忘记了两个观察之间有联系: FSIQ 和 PIQ 是在相同的个体上进行的测量。因此被试之间的差异是混淆的，并且可以使用"配对实验"或"重复测量实验"来消除。

In [21]:

stats.ttest_rel(data['FSIQ'], data['PIQ'])

Out[21]:

(1.7842019405859857, 0.082172638183642358)

这等价于单样本的差异检验:

In [22]:

stats.ttest_1samp(data['FSIQ'] - data['PIQ'], 0)

Out[22]:

(1.7842019405859857, 0.082172638183642358)

T-tests假定高斯误差。我们可以使用威尔科克森符号秩检验, 放松了这个假设:

In [23]:

stats.wilcoxon(data['FSIQ'], data['PIQ'])

Out[23]:

(274.5, 0.10659492713506856)

注意: 非配对实验对应的非参数检验是曼惠特尼U检验, scipy.stats.mannwhitneyu()。

练习

检验男性和女性重量的差异。

使用非参数检验来检验男性和女性VIQ的差异。

结论: 我们发现数据并不支持男性和女性VIQ不同的假设。

3.1.3 线性模型、多因素和因素分析

3.1.3.1 用“公式” 来在Python中指定统计模型

3.1.3.1.1 简单线性回归

给定两组观察值，x和y, 我们想要检验假设y是x的线性函数，换句话说:

$y = x * coef + intercept + e$

其中$e$是观察噪音。我们将使用statmodels module:

拟合一个线性模型。我们将使用简单的策略，普通最小二乘 (OLS)。
检验系数是否是非0。

首先，我们生成模型的虚拟数据:

In [9]:

import numpy as np

x = np.linspace(-5, 5, 20)

np.random.seed(1)

# normal distributed noise

y = -5 + 3*x + 4 * np.random.normal(size=x.shape)

# Create a data frame containing all the relevant variables

data = pandas.DataFrame({'x': x, 'y': y})

Python中的统计公式

见statsmodels文档

然后我们指定一个OLS模型并且拟合它:

In [10]:

from statsmodels.formula.api import ols

model = ols("y ~ x", data).fit()

我们可以检查fit产生的各种统计量:

In [26]:

print(model.summary())

                            OLS Regression Results

==============================================================================

Dep. Variable:                      y   R-squared:                       0.804

Model:                            OLS   Adj. R-squared:                  0.794

Method:                 Least Squares   F-statistic:                     74.03

Date:                Wed, 18 Nov 2015   Prob (F-statistic):           8.56e-08

Time:                        17:10:03   Log-Likelihood:                -57.988

No. Observations:                  20   AIC:                             120.0

Df Residuals:                      18   BIC:                             122.0

Df Model:                           1

Covariance Type:            nonrobust

==============================================================================

                 coef    std err          t      P>|t|      [95.0% Conf. Int.]

------------------------------------------------------------------------------

Intercept     -5.5335      1.036     -5.342      0.000        -7.710    -3.357

x              2.9369      0.341      8.604      0.000         2.220     3.654

==============================================================================

Omnibus:                        0.100   Durbin-Watson:                   2.956

Prob(Omnibus):                  0.951   Jarque-Bera (JB):                0.322

Skew:                          -0.058   Prob(JB):                        0.851

Kurtosis:                       2.390   Cond. No.                         3.03

==============================================================================

Warnings:

[1] Standard Errors assume that the covariance matrix of the errors is correctly specified.

术语:

Statsmodels使用统计术语: statsmodel的y变量被称为‘endogenous’而x变量被称为exogenous。更详细的讨论见这里。

为了简化，y (endogenous) 是你要尝试预测的值，而 x (exogenous) 代表用来进行这个预测的特征。

练习

从以上模型中取回估计参数。提示: 使用tab-完成来找到相关的属性。

3.1.3.1.2 类别变量: 比较组或多个类别

让我们回到大脑大小的数据:

In [27]:

data = pandas.read_csv('examples/brain_size.csv', sep=';', na_values=".")

我们可以写一个比较，用线性模型比较男女IQ:

In [28]:

model = ols("VIQ ~ Gender + 1", data).fit()

print(model.summary())

                            OLS Regression Results

==============================================================================

Dep. Variable:                    VIQ   R-squared:                       0.015

Model:                            OLS   Adj. R-squared:                 -0.010

Method:                 Least Squares   F-statistic:                    0.5969

Date:                Wed, 18 Nov 2015   Prob (F-statistic):              0.445

Time:                        17:34:10   Log-Likelihood:                -182.42

No. Observations:                  40   AIC:                             368.8

Df Residuals:                      38   BIC:                             372.2

Df Model:                           1

Covariance Type:            nonrobust

==================================================================================

                     coef    std err          t      P>|t|      [95.0% Conf. Int.]

----------------------------------------------------------------------------------

Intercept        109.4500      5.308     20.619      0.000        98.704   120.196

Gender[T.Male]     5.8000      7.507      0.773      0.445        -9.397    20.997

==============================================================================

Omnibus:                       26.188   Durbin-Watson:                   1.709

Prob(Omnibus):                  0.000   Jarque-Bera (JB):                3.703

Skew:                           0.010   Prob(JB):                        0.157

Kurtosis:                       1.510   Cond. No.                         2.62

==============================================================================

Warnings:

[1] Standard Errors assume that the covariance matrix of the errors is correctly specified.

特定模型的提示

强制类别: ‘Gender’ 被自动识别为类别变量，因此，它的每一个不同值都被处理为不同的实体。使用:

In [29]:

model = ols('VIQ ~ C(Gender)', data).fit()

可以将一个整数列强制作为类别处理。

截距: 我们可以在公式中用-1删除截距，或者用+1强制使用截距。

默认，statsmodel将带有K和可能值的类别变量处理为K-1'虚拟变量' (最后一个水平被吸收到截距项中)。在绝大多数情况下，这都是很好的默认选择 - 但是，为类别变量指定不同的编码方式也是可以的 (http://statsmodels.sourceforge.net/devel/contrasts.html)。。)

FSIQ和PIQ差异的t-检验

要比较不同类型的IQ，我们需要创建一个"长形式"的表格，用一个类别变量来标识IQ类型:

In [30]:

data_fisq = pandas.DataFrame({'iq': data['FSIQ'], 'type': 'fsiq'})

data_piq = pandas.DataFrame({'iq': data['PIQ'], 'type': 'piq'})

data_long = pandas.concat((data_fisq, data_piq))

print(data_long)

     iq  type

0   133  fsiq

1   140  fsiq

2   139  fsiq

3   133  fsiq

4   137  fsiq

5    99  fsiq

6   138  fsiq

7    92  fsiq

8    89  fsiq

9   133  fsiq

10  132  fsiq

11  141  fsiq

12  135  fsiq

13  140  fsiq

14   96  fsiq

15   83  fsiq

16  132  fsiq

17  100  fsiq

18  101  fsiq

19   80  fsiq

20   83  fsiq

21   97  fsiq

22  135  fsiq

23  139  fsiq

24   91  fsiq

25  141  fsiq

26   85  fsiq

27  103  fsiq

28   77  fsiq

29  130  fsiq

..  ...   ...

10  124   piq

11  128   piq

12  124   piq

13  147   piq

14   90   piq

15   96   piq

16  120   piq

17  102   piq

18   84   piq

19   86   piq

20   86   piq

21   84   piq

22  134   piq

23  128   piq

24  102   piq

25  131   piq

26   84   piq

27  110   piq

28   72   piq

29  124   piq

30  132   piq

31  137   piq

32  110   piq

33   86   piq

34   81   piq

35  128   piq

36  124   piq

37   94   piq

38   74   piq

39   89   piq

[80 rows x 2 columns]

In [31]:

model = ols("iq ~ type", data_long).fit()

print(model.summary())

                            OLS Regression Results

==============================================================================

Dep. Variable:                     iq   R-squared:                       0.003

Model:                            OLS   Adj. R-squared:                 -0.010

Method:                 Least Squares   F-statistic:                    0.2168

Date:                Wed, 18 Nov 2015   Prob (F-statistic):              0.643

Time:                        18:16:40   Log-Likelihood:                -364.35

No. Observations:                  80   AIC:                             732.7

Df Residuals:                      78   BIC:                             737.5

Df Model:                           1

Covariance Type:            nonrobust

===============================================================================

                  coef    std err          t      P>|t|      [95.0% Conf. Int.]

-------------------------------------------------------------------------------

Intercept     113.4500      3.683     30.807      0.000       106.119   120.781

type[T.piq]    -2.4250      5.208     -0.466      0.643       -12.793     7.943

==============================================================================

Omnibus:                      164.598   Durbin-Watson:                   1.531

Prob(Omnibus):                  0.000   Jarque-Bera (JB):                8.062

Skew:                          -0.110   Prob(JB):                       0.0178

Kurtosis:                       1.461   Cond. No.                         2.62

==============================================================================

Warnings:

[1] Standard Errors assume that the covariance matrix of the errors is correctly specified.

我们可以看到我们获得了与前面t-检验相同的值，以及相同的对应iq type的p-值:

In [32]:

stats.ttest_ind(data['FSIQ'], data['PIQ'])

Out[32]:

(0.46563759638096403, 0.64277250094148408)

3.1.3.2 多元回归: 包含多因素

考虑用2个变量x和y来解释变量z的线性模型:

$z = x , c_1 + y , c_2 + i + e$

这个模型可以被视为在3D世界中用一个平面去拟合 (x, y, z) 的点云。

实例: 鸢尾花数据 (examples/iris.csv)

萼片和花瓣的大小似乎是相关的: 越大的花越大! 但是，在不同的种之间是否有额外的系统效应?

In [33]:

data = pandas.read_csv('examples/iris.csv')

model = ols('sepal_width ~ name + petal_length', data).fit()

print(model.summary())

                            OLS Regression Results

==============================================================================

Dep. Variable:            sepal_width   R-squared:                       0.478

Model:                            OLS   Adj. R-squared:                  0.468

Method:                 Least Squares   F-statistic:                     44.63

Date:                Thu, 19 Nov 2015   Prob (F-statistic):           1.58e-20

Time:                        09:56:04   Log-Likelihood:                -38.185

No. Observations:                 150   AIC:                             84.37

Df Residuals:                     146   BIC:                             96.41

Df Model:                           3

Covariance Type:            nonrobust

======================================================================================

                         coef    std err          t      P>|t|      [95.0% Conf. Int.]

--------------------------------------------------------------------------------------

Intercept              2.9813      0.099     29.989      0.000         2.785     3.178

name[T.versicolor]    -1.4821      0.181     -8.190      0.000        -1.840    -1.124

name[T.virginica]     -1.6635      0.256     -6.502      0.000        -2.169    -1.158

petal_length           0.2983      0.061      4.920      0.000         0.178     0.418

==============================================================================

Omnibus:                        2.868   Durbin-Watson:                   1.753

Prob(Omnibus):                  0.238   Jarque-Bera (JB):                2.885

Skew:                          -0.082   Prob(JB):                        0.236

Kurtosis:                       3.659   Cond. No.                         54.0

==============================================================================

Warnings:

[1] Standard Errors assume that the covariance matrix of the errors is correctly specified.

3.1.3.3 事后假设检验: 方差分析 (ANOVA))

在上面的鸢尾花例子中，在排除了萼片的影响之后，我们想要检验versicolor和virginica的花瓣长度是否有差异。这可以被公式化为检验在上面的线性模型中versicolor和virginica系数的差异 (方差分析, ANOVA)。我们写了"差异"向量的参数来估计: 我们想要用F-检验检验 "name[T.versicolor] - name[T.virginica]":

In [36]:

print(model.f_test([0, 1, -1, 0]))

<F test: F=array([[ 3.24533535]]), p=0.073690587817, df_denom=146, df_num=1>

是否差异显著？

练习回到大脑大小 + IQ 数据, 排除了大脑大小、高度和重量的影响后，检验男女的VIQ差异。

3.1.4 更多可视化: 用seaborn来进行统计学探索

Seaborn 集成了简单的统计学拟合与pandas dataframes绘图。

让我们考虑一个500个个体的工资及其它个人信息的数据 (Berndt, ER. The Practice of Econometrics. 1991. NY: Addison-Wesley)。

加载并绘制工资数据的完整代码可以在对应的例子中找到。

In [3]:

print data

     EDUCATION  SOUTH  SEX  EXPERIENCE  UNION   WAGE  AGE  RACE  OCCUPATION  \

0            8      0    1          21      0   5.10   35     2           6

1            9      0    1          42      0   4.95   57     3           6

2           12      0    0           1      0   6.67   19     3           6

3           12      0    0           4      0   4.00   22     3           6

4           12      0    0          17      0   7.50   35     3           6

5           13      0    0           9      1  13.07   28     3           6

6           10      1    0          27      0   4.45   43     3           6

7           12      0    0           9      0  19.47   27     3           6

8           16      0    0          11      0  13.28   33     3           6

9           12      0    0           9      0   8.75   27     3           6

10          12      0    0          17      1  11.35   35     3           6

11          12      0    0          19      1  11.50   37     3           6

12           8      1    0          27      0   6.50   41     3           6

13           9      1    0          30      1   6.25   45     3           6

14           9      1    0          29      0  19.98   44     3           6

15          12      0    0          37      0   7.30   55     3           6

16           7      1    0          44      0   8.00   57     3           6

17          12      0    0          26      1  22.20   44     3           6

18          11      0    0          16      0   3.65   33     3           6

19          12      0    0          33      0  20.55   51     3           6

20          12      0    1          16      1   5.71   34     3           6

21           7      0    0          42      1   7.00   55     1           6

22          12      0    0           9      0   3.75   27     3           6

23          11      1    0          14      0   4.50   31     1           6

24          12      0    0          23      0   9.56   41     3           6

25           6      1    0          45      0   5.75   57     3           6

26          12      0    0           8      0   9.36   26     3           6

27          10      0    0          30      0   6.50   46     3           6

28          12      0    1           8      0   3.35   26     3           6

29          12      0    0           8      0   4.75   26     3           6

..         ...    ...  ...         ...    ...    ...  ...   ...         ...

504         17      0    1          10      0  11.25   33     3           5

505         16      0    1          10      1   6.67   32     3           5

506         16      0    1          17      0   8.00   39     2           5

507         18      0    0           7      0  18.16   31     3           5

508         16      0    1          14      0  12.00   36     3           5

509         16      0    1          22      1   8.89   44     3           5

510         17      0    1          14      0   9.50   37     3           5

511         16      0    0          11      0  13.65   33     3           5

512         18      0    0          23      1  12.00   47     3           5

513         12      0    0          39      1  15.00   57     3           5

514         16      0    0          15      0  12.67   37     3           5

515         14      0    1          15      0   7.38   35     2           5

516         16      0    0          10      0  15.56   32     3           5

517         12      1    1          25      0   7.45   43     3           5

518         14      0    1          12      0   6.25   32     3           5

519         16      1    1           7      0   6.25   29     2           5

520         17      0    0           7      1   9.37   30     3           5

521         16      0    0          17      0  22.50   39     3           5

522         16      0    0          10      1   7.50   32     3           5

523         17      1    0           2      0   7.00   25     3           5

524          9      1    1          34      1   5.75   49     1           5

525         15      0    1          11      0   7.67   32     3           5

526         15      0    0          10      0  12.50   31     3           5

527         12      1    0          12      0  16.00   30     3           5

528         16      0    1           6      1  11.79   28     3           5

529         18      0    0           5      0  11.36   29     3           5

530         12      0    1          33      0   6.10   51     1           5

531         17      0    1          25      1  23.25   48     1           5

532         12      1    0          13      1  19.88   31     3           5

533         16      0    0          33      0  15.38   55     3           5   

     SECTOR  MARR

0         1     1

1         1     1

2         1     0

3         0     0

4         0     1

5         0     0

6         0     0

7         0     0

8         1     1

9         0     0

10        0     1

11        1     0

12        0     1

13        0     0

14        0     1

15        2     1

16        0     1

17        1     1

18        0     0

19        0     1

20        1     1

21        1     1

22        0     0

23        0     1

24        0     1

25        1     1

26        1     1

27        0     1

28        1     1

29        0     1

..      ...   ...

504       0     0

505       0     0

506       0     1

507       0     1

508       0     1

509       0     1

510       0     1

511       0     1

512       0     1

513       0     1

514       0     1

515       0     0

516       0     0

517       0     0

518       0     1

519       0     1

520       0     1

521       1     1

522       0     1

523       0     1

524       0     1

525       0     1

526       0     0

527       0     1

528       0     0

529       0     0

530       0     1

531       0     1

532       0     1

533       1     1  

[534 rows x 11 columns]

3.1.4.1 配对图: 散点矩阵

使用seaborn.pairplot()来显示散点矩阵我们可以很轻松的对连续变量之间的交互有一个直觉:

In [4]:

import seaborn

seaborn.pairplot(data, vars=['WAGE', 'AGE', 'EDUCATION'], kind='reg')

Out[4]:

<seaborn.axisgrid.PairGrid at 0x107feb850>

/Library/Frameworks/Python.framework/Versions/2.7/lib/python2.7/site-packages/matplotlib/collections.py:590: FutureWarning: elementwise comparison failed; returning scalar instead, but in the future will perform elementwise comparison

  if self._edgecolors == str('face'):

可以用颜色来绘制类别变量:

In [5]:

seaborn.pairplot(data, vars=['WAGE', 'AGE', 'EDUCATION'], kind='reg', hue='SEX')

Out[5]:

<seaborn.axisgrid.PairGrid at 0x107feb650>

看一下并感受一些matplotlib设置

Seaborn改变了matplotlib的默认图案以便获得更"现代"、更"类似Excel"的外观。它是通过import来实现的。重置默认设置可以使用:

In [8]:

from matplotlib import pyplot as plt

plt.rcdefaults()

要切换回seaborn设置, 或者更好理解seaborn中的样式, 见seaborn文档中的相关部分。

3.1.4.2. lmplot: 绘制一个单变量回归

回归捕捉了一个变量与另一个变量的关系，例如薪水和教育，可以用seaborn.lmplot()来绘制:

In [6]:

seaborn.lmplot(y='WAGE', x='EDUCATION', data=data)

Out[6]:

<seaborn.axisgrid.FacetGrid at 0x108db6050>

稳健回归

在上图中，有一些数据点偏离了右侧的主要云，他们可能是异常值，对总体没有代表性，但是，推动了回归。

要计算对异常值不敏感的回归，必须使用稳健模型。在seaborn的绘图函数中可以使用robust=True，或者在statsmodels用"稳健线性回归"statsmodels.formula.api.rlm()来替换OLS。

3.1.5 交互作用检验

是否教育对工资的提升在男性中比女性中更多?

上图来自两个不同的拟合。我们需要公式化一个简单的模型来检验总体倾斜的差异。这通过"交互作用"来完成。

In [22]:

result = ols(formula='WAGE ~ EDUCATION + C(SEX) + EDUCATION * C(SEX)', data=data).fit()

print(result.summary())

                            OLS Regression Results

==============================================================================

Dep. Variable:                   WAGE   R-squared:                       0.190

Model:                            OLS   Adj. R-squared:                  0.186

Method:                 Least Squares   F-statistic:                     41.50

Date:                Thu, 19 Nov 2015   Prob (F-statistic):           4.24e-24

Time:                        12:06:38   Log-Likelihood:                -1575.0

No. Observations:                 534   AIC:                             3158.

Df Residuals:                     530   BIC:                             3175.

Df Model:                           3

Covariance Type:            nonrobust

=========================================================================================

                            coef    std err          t      P>|t|      [95.0% Conf. Int.]

-----------------------------------------------------------------------------------------

Intercept                 1.1046      1.314      0.841      0.401        -1.476     3.685

C(SEX)[T.1]              -4.3704      2.085     -2.096      0.037        -8.466    -0.274

EDUCATION                 0.6831      0.099      6.918      0.000         0.489     0.877

EDUCATION:C(SEX)[T.1]     0.1725      0.157      1.098      0.273        -0.136     0.481

==============================================================================

Omnibus:                      208.151   Durbin-Watson:                   1.863

Prob(Omnibus):                  0.000   Jarque-Bera (JB):             1278.081

Skew:                           1.587   Prob(JB):                    2.94e-278

Kurtosis:                       9.883   Cond. No.                         170.

==============================================================================

Warnings:

[1] Standard Errors assume that the covariance matrix of the errors is correctly specified.

我们可以得出结论教育对男性的益处大于女性吗？

带回家的信息

假设检验和p-值告诉你影响 / 差异的显著性
公式 (带有类别变量) 让你可以表达你数据中的丰富联系
可视化数据和简单模型拟合很重要!
条件化 (添加可以解释所有或部分方差的因素) 在改变交互作用建模方面非常重要。

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