51nod 1149 Pi的递推式(组合数学)

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解题思路

　　首先因为\(Pi\)不是整数，所以不能直接递推。这时我们要思考这个式子的实际意义，其实\(f(i)\)就可以看做从\(i\)这个点，每次可以向右走\(Pi\)步或\(1\)步，走到[0.4)的方案数。这样的话我们就可以枚举一下走一步的次数\(i\)，然后走\(Pi\)步的次数就是\(\left\lfloor\dfrac{n-i}{Pi}\right\rfloor\)。最后还要讨论一下最后一步能不能走\(1\)步，然后用组合数算一下。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath> 
using namespace std;
const int MAXN = 1000005;
const int MOD = 1e9+7;
const double Pi = acos(-1);
typedef long long LL;
int n,fac[MAXN]={1},inv[MAXN];
LL ans;
int fast_pow(int x,int y){
	int ret=1;
	for(;y;y>>=1){
		if(y&1) ret=(LL)ret*x%MOD;
		x=(LL)x*x%MOD;
	}
	return ret;
}
inline LL C(int x,int y){
	if(x<y) return 0;
	return (LL)fac[x]*inv[y]%MOD*inv[x-y]%MOD;
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=(LL)fac[i-1]*i%MOD;
	inv[n]=fast_pow(fac[n],MOD-2);
	for(int i=n-1;~i;i--) inv[i]=(LL)inv[i+1]*(i+1)%MOD;
	for(int i=0;i<=n;i++){
		if(n-i-(int)((n-i)/Pi)*Pi>=3) ans+=C((n-i)/Pi+i,i);
		else ans+=C((int)(n-i)/Pi+i-1,i);
		ans%=MOD;
	}printf("%lld",ans);
	return 0;
}