此题就是快速幂取模

先简单讲一讲快速幂

首先,快速幂的目的就是做到快速求幂,假设我们要求a^b,按照朴素算法就是把a连乘b次,这样一来时间复杂度是O(b)也即是O(n)级别,快速幂能做到O(logn),快了好多好多。它的原理如下:

  假设我们要求a^b,那么其实b是可以拆成二进制的,该二进制数第i位的权为2^(i-1),例如当b=11时

                           a11=a(2^0+2^1+2^3)

  11的二进制是1011,11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1,因此,我们将a¹¹转化为算 a2^0 a2^1 a2^3,也就是a1a2 a8 ,看出来快的多了吧原来算11次,现在算三次,但是这三项貌似不好求的样子....不急,下面会有详细解释。

由于是二进制,很自然地想到用位运算这个强大的工具:&和>> &运算通常用于二进制取位操作,例如一个数 & 1 的结果就是取二进制的最末位。还可以判断奇偶x&1==0为偶,x&1==1为奇。 >>运算比较单纯,二进制去掉最后一位,不多说了,先放代码再解释。

  1. int poww(int a, int b) {
  2. int ans=1,base=a;
  3. while(b!=0){
  4. if (b & 1 != 0)
  5. ans *= base;
  6. base *= base;
  7. b >>= 1;
  8. }
  9. return ans;
  10. }

代码很短,死记也可行,但最好还是理解一下吧,其实也很好理解,以b==11为例,b=>1011,二进制从右向左算,但乘出来的顺序是 a^(2^0) a^(2^1) a^(2^3),是从左向右的。我们不断的让base*=base目的即是累乘,以便随时对ans做出贡献。

  其中要理解base =base 这一步:因为 base base==base2,下一步再乘,就是base2 base2==base4,然后同理 base4 base4=base8,由此可以做到base-->base2-->base4-->base8-->base16-->base32.......指数正是 2^i ,再看上面的例子,a¹¹= a1 a2 a8,这三项就可以完美解决了,快速幂就是这样。

于是可得以下AC代码

  1. #include<bits/stdc++.h>
  2. using namespace std;
  3. long long n,m,p;
  4. long long quick_pow(){
  5. long long ans=1;//记录结果
  6. while(p){
  7. if(p%2){//如果p%2是1,那么我们的结果是要参与运算的
  8. ans*=n;
  9. ans%=m;
  10. }
  11. p/=2;//每次除以2
  12. n=n*n%m;//不断的加倍
  13. }
  14. return ans%m;
  15. }
  16. int main(){
  17. cin>>n>>m>>p;
  18. cout<<quick_pow()<<endl;
  19. return 0;
  20. }

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