题解 AT1357 【n^p mod m】
此题就是快速幂取模
先简单讲一讲快速幂
首先,快速幂的目的就是做到快速求幂,假设我们要求a^b,按照朴素算法就是把a连乘b次,这样一来时间复杂度是O(b)也即是O(n)级别,快速幂能做到O(logn),快了好多好多。它的原理如下:
假设我们要求a^b,那么其实b是可以拆成二进制的,该二进制数第i位的权为2^(i-1),例如当b=11时
a11=a(2^0+2^1+2^3)
11的二进制是1011,11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1,因此,我们将a¹¹转化为算 a2^0 a2^1 a2^3,也就是a1a2 a8 ,看出来快的多了吧原来算11次,现在算三次,但是这三项貌似不好求的样子....不急,下面会有详细解释。
由于是二进制,很自然地想到用位运算这个强大的工具:&和>> &运算通常用于二进制取位操作,例如一个数 & 1 的结果就是取二进制的最末位。还可以判断奇偶x&1==0为偶,x&1==1为奇。 >>运算比较单纯,二进制去掉最后一位,不多说了,先放代码再解释。
int poww(int a, int b) {
int ans=1,base=a;
while(b!=0){
if (b & 1 != 0)
ans *= base;
base *= base;
b >>= 1;
}
return ans;
}
代码很短,死记也可行,但最好还是理解一下吧,其实也很好理解,以b==11为例,b=>1011,二进制从右向左算,但乘出来的顺序是 a^(2^0) a^(2^1) a^(2^3),是从左向右的。我们不断的让base*=base目的即是累乘,以便随时对ans做出贡献。
其中要理解base =base 这一步:因为 base base==base2,下一步再乘,就是base2 base2==base4,然后同理 base4 base4=base8,由此可以做到base-->base2-->base4-->base8-->base16-->base32.......指数正是 2^i ,再看上面的例子,a¹¹= a1 a2 a8,这三项就可以完美解决了,快速幂就是这样。
于是可得以下AC代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,m,p;
long long quick_pow(){
long long ans=1;//记录结果
while(p){
if(p%2){//如果p%2是1,那么我们的结果是要参与运算的
ans*=n;
ans%=m;
}
p/=2;//每次除以2
n=n*n%m;//不断的加倍
}
return ans%m;
}
int main(){
cin>>n>>m>>p;
cout<<quick_pow()<<endl;
return 0;
}
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