洛谷P2258 子矩阵——题解

题目传送

表示一开始也是一脸懵逼，虽然想到了DP，但面对多变的状态不知从何转移及怎么合理记录状态。之（借鉴大佬思路）后，豁然开朗，于是在AC后分享一下题解。

发现数据范围出奇地小，不过越是小的数据范围，算法的灵活性就越大。小数据对我们各个算法的组合及时间复杂度的掌握要求很高。面对二维的最优化选择，其实我们可以先通过搜索枚举出行的所有选择，存到一个数组team中，然后在行已经确认的情况下，跑一遍一维的DP：设dp[j][i]为在前j列选择i列的最优情况（为了方便，要求第i选择的列一定是第j列）。则状态转移方程就可写成：dp[j][i]=min(dp[j][i],dp[k][i-1]+lc[j]+hc[k][j]），其中lc为第j列的分值，hc[k][j]为第k列和第j列横向相邻元素对分值的贡献，k=i-1,i-1+1,...,j-1。对于lc和hk

我们可以在每次搜索完成后预处理一下，整个程序的时间复杂度即为O（C（n,r）*rm²）,足以解出题。

代码上有一个小优化，详情见注释：

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cmath>

 using namespace std;

 int n, m, r, c, num[][], ans = 0x7fffffff, team[], lteam;
 int lc[];     //列
 int hc[][]; //列之间
 int dp[][];

 void init()
 {
     for (int i = ; i <= m; i++)
     {
         lc[i] = ;
         for (int j = ; j < r; j++)
             lc[i] += abs(num[team[j]][i] - num[team[j + ]][i]);
     }
     for (int i = ; i < m; i++)
         for (int j = i + ; j <= m; j++)
         {
             hc[i][j] = ;
             for (int k = ; k <= r; k++)
                 hc[i][j] += abs(num[team[k]][i] - num[team[k]][j]);
         }
 }

 void DP()
 {
     for (int i = ; i <= m; i++)
         dp[i][] = lc[i];
     if (c == )
     {
         for (int i = ; i <= m; i++)
             ans = ans > dp[i][] ? dp[i][] : ans;
         return;
     }
     for (int i = ; i <= c; i++)
     {
         for (int j = i; j <= m - c + i; j++)
         {
             dp[j][i] = 0x2fffffff;
             for (int k = j - ; k >= i - ; k--)
                 dp[j][i] = min(dp[j][i], dp[k][i - ] + lc[j] + hc[k][j]);
         }
     }
     for (int i = c; i <= m; i++)
         ans = min(ans, dp[i][c]);
 }

 void dfs(int now)
 {
     if (now > n)//选择完毕
     {
         init();
         DP();
         return;
     }
     if (r - lteam == n - now + )//当剩下的元素与还要选择的元素的数量相等时，必须要选
     {
         team[++lteam] = now;
         dfs(now + );
         --lteam;
         return;
     }
     dfs(now + );//当前行要么不选
     if (lteam < r)//要么在符合条件的情况下选
     {
         team[++lteam] = now;
         dfs(now + );
         --lteam;
     }
 }

 int main()
 {
     scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &r, &c);
     for (int i = ; i <= n; i++)
         for (int j = ; j <= m; j++)
             scanf("%d", &num[i][j]);
     dfs();
     printf("%d", ans);
     return ;
 }