谈谈我近一个半月的dp练习

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首先十分感谢henry_y提供的50道dp练习，链接在这—>https://www.cnblogs.com/henry-1202/p/9211398.html

虽然现在只做了30多道题，剩下的题目还没写，想着以后留着复习来用，但是我对dp的理解比以前高出了不少，现在我来说说对dp的想法吧。

目录

一．动态规划的本质，以及它的核心难点：如何判断这题用dp来解

二． 关于我做到的关于dp以外的技巧

一．动态规划的本质，以及它的核心难点：如何判断这题用dp来解

其实说白了，用到动态规划的题目肯定要满足无后效性，最优子问题这两个关键，但是有些十分有趣的现象，就是如果我们看到一道题，别人没有跟你讲这道题正解是用dp做的，你横看竖看这题也不像dp，那怎么办呢？（这里给出一个实例，有兴趣的可以看一下这题 回文字串 https://www.luogu.org/problem/P1435），那么这些什么无后效性的概念对于我们现在来讲就是废话，因为我们是真的看不出来这题竟然能用dp做，那么现在我给出我自己对这些题目的浅薄理解。

首先，要用dp解题应要立于题目本身，题目要求有求“最大”，“最小”，“最优”等字眼时，应该要想到这题可能要用到dp；

其次，没有头绪时不用慌，观察题目给的样例数据，看看数据都是关于什么，比如背包问题，数据常见的给出有关于价值、容量、重量等等关键元素，这时候就要想一下如果我用dp来写这题，该怎么写。

举个例子，我用dp的思路，常见的就是用F[ i ][ j ]这种二维形式来推出答案，这时候我们应该要想， i 能表示什么，j能表示什么，假设出一种可能后，看看能不能、可不可以写出动态转移方程。

这里我给出一个实例，刚刚那题回文字串，看了题目一脸疑惑，第一反应肯定是暴力，硬搜出答案出来，但是肯定会炸裂，那该怎么办？

我们来看它求什么，“最少插入字符数”，你看！最少这个字眼出现了，直接把解题思路集中在贪心、搜索（这个万不得已的时候才用，因为剪枝技术不行的话，99%超时）、dp等找最优解的算法上（欢迎大家来补充，因为我的知识有限，只了解这些。。。），那么如何来区分是贪心还是dp来解题呢？这里我不再进行解答，开头给出的文章有详细的解析。

我们把目光回到那道题目上面，怎么做？我们可以看到样例有大写字母，小写字母，数字等不同的字符，注意到了吗？不同的字符—>种类（找到第一个元素）每个字符占着不同的位置 —>位置（找到第二个元素） 字串的长度—>长度（找到第三个元素）就这么多吧。

我们再来看看题目的要求，回文字串，题目样例是Ab3bd，如果我们插入它的倒序db3bA，即Ab3bddb3bA，不就是个回文字串吗？而且这么做的话，最后字串个数肯定是偶数，因为倒过来加上去字符个数就是2n，那么我们还可以舍弃最后一个字母来加上去，意思是样例是Ab3bd，回文字串把它变成Ab3bdb3bA，把d给删掉一个，不也是个回文字串吗？那么我们就很容易得出结论  加上去的字符数最多是  原字串长度减去1，（这里先看到下面 1 长度 这个元素）但是有个问题，我原本就有对称趋势的字符，如果这么加，不就浪费了吗？就像样例中的b3b，本已回文，何必再加（看到下面 2 种类 这个元素），那么如何判断这些可以构成回文的部分呢？根据刚刚的思路，倒过来后这些本来已经回文的子串还是回文的，那么不就有点像LCS了吗？我们只需找出那些倒过来还是可以弄成回文的子串（就算是断断续续的也无妨），不就问题迎刃而解？（看到下面 3 位置 这个元素）

现在我们要选一下哪些有用，而且要把它们应用在动态转移方程上面

1 长度 找到了长度这个元素！那怎么可以把它用到方程里面，对于样例而言，长度为5，那么我们只能从5开始，从中间位置开始向两边枚举，但是没有dp的思想在里面啊，否决！

2 种类 回文串的种类个数是串的长度/2（单数串长度还要+1）   我们是否能这么设置？f[ i ][ j ]表示前i 个字符一共有J种种类而需要插入的个数构成的回文串这样子的呢？我们也易看到得出的结果跟我下一个需要判断的阶段好像没啥关系，因为我还是要扫一遍，这不就是搜索了吗？否决！

3 位置 刚刚分析过了，如果我倒过来的串的位置与原串的同一位置的字符一样，那不就看出来这是有对称趋势的字符？配合LCS的思路，最后求出来的就是所以有对称趋势的字符的个数的值，那么我们要求出最少插入的值不就是原串长度-求出的值不就是答案呢吗？为什么呢？把那些没有对称趋势的字符复制在它的“对面”，这个字符就与自己的复制体就对称了，不就从而弄出来答案就是剩下的没有对称趋势的字符的个数吗？而剩下的没有对称趋势的字符不就等于原串长度-求出的值。

以上就是我对其中一题的理解，即是当我没有任何思路时，会去想的方法。 绝不是我事先知道这题是dp才往那方向死命想的

总结一下以上的想法，我就是把题目里面能想到的元素都写出来，再根据题目要求一个个去尝试，因此我在做这些题目时，开了一维的数组，发现好像不行，那就开二维，二维不行就上三维，直到把我能想到的且最终有用的元素都用上。

二． 关于我做到的关于dp以外的技巧

1.尼克的任务（https://www.luogu.org/problemnew/solution/P1280）

这道题可谓是惊天水题，太水了，水的我都溺死了，一开始我一股脑的用常规dp思路，所谓常规就是i=1~n;j=1~n;F[ i , j ]=.......，结果发现连样例都过不了，一看题解，正解要倒序......。这题我怨气这么多一是因为这是50道dp里面的第3道，说是入门级别的难度我实属是不敢相信，二是因为我在找题解，看正解为什么应该要用倒序时，发现了一些dalao，他们写题解都是怎样的呢？“唔~普及组水题”“这题显然是....”等等，我很想说一句，但凡你们认真一点，照顾照顾一下我这些菜鸡，写题解时多一点解释，少一点显然，我也不至于对dp一直有种畏惧的心理。额，这些都是题外话，回到题目，这题可能是我见过的第一道要用倒序dp来做的题目（除去背包问题），算是长见识了。最后说一句，这题一点都不水！

2.LIS的n log n 做法（50道题目里面比较多用到）

这个做法我一开始是一脸懵逼的，最后理解了才发现，其实这种做法不仅仅能适用于这里，这更算是一种思想，一种最优化的思想，我觉得有点难解释，我把这种做法比喻成排队吧，如果有人比现在这个队列里面最高的人还要高，就把他放在最前面，如果不够最高那个人高，就在队列里面找到所有比他高的人里面最矮的那一个，然后把它替换，这样有利于把后面的人给加进来，为什么呢？如果一个人170，他想要加入队伍，现在这个队伍里面最高的人是175，第二高的人是168，这时候我把175的换走，人数不变，此时最高的是170，便于以后想要加进来的171、172、173、174的人排到最前面，队伍人数增多，而不是让他们走人。

3.对dp出来一遍的数组再进行dp一遍（https://www.luogu.org/problem/P1108）

长见识了，我现在都云里雾里的对这题

4.dp与离散化的结合（https://www.luogu.org/problem/UVA10635、https://www.luogu.org/problem/P1439）

这几题以后一定要重新做一遍，对于一些有两个排序标准的题目很有帮助，而且我初步了解到了离散化数据的魅力，其实这个理解起来也不难，就是对于随便一串东西，把它做成一个映射，变成有排列顺序的数字1 2 3 4 等等，做完题输出的时候再反向映射一遍，巧妙吧，我特别想问谁发明的，真的牛啤。

4.Dilworth定理的意思：最少的下降序列个数就等于整个序列最长上升子序列的长度  （有些东西记住就好，不要太在意，要不然头顶会凉）

5.断链成环（https://www.luogu.org/problem/P1063）

这个我要重点提一下，因为我对环的知识还没有很深，所以做题常常碰壁，这题也不例外，那这题怎么说呢？这题让我懂得了一个道理，我设出来的东西可以不用，我可以只是为了我的代码简洁，循环起来不用写那么多限制条件，最后输出的时候输出我要求的东西就行。回归正题吧，环的处理有两种，可以选择(i+1)%n的方式，但也可以将n个元素复制一遍，变成2*n个元素，简化代码，我刚刚说的道理就是从2*n个元素这种方法得出来的。总而言之，我之后要做多一点关于环的题目吧。

6.与二分的结合（https://www.luogu.org/problem/P3957）

虽然核心dp代码里面没有用到二分优化什么的，纯属算是题目要求，但是我想说一句，这是2017普及组的题目？？？相对而言算难的吧.......

7.单调队列优化（https://www.luogu.org/problem/P3089）

又是长见识的时间，单调队列我就不说了，现在我还只会手写队列，等到会用stl库再来写写这题吧。其实做完这题的时候我思考了这样一个问题，既然我dp都在找以前的最优值，那么什么时候可以用类似的算法，把以前的最优都处理一下，直接省掉一重循环（思考ing......）

8.DAG上的dp（https://www.luogu.org/problem/P2883）

一开始这题我连题目都看不懂的，看了题解还算是懂了那么一点（对于一个高考语文分数107即三年巅峰的人来讲，这种题目描述实属是难顶），其实这题我更想把它叫为递推，因为对于每个点直接加上连接点的值就好了，说是dp也无妨吧。

9.这题就想写一下，也没有什么算法和dp结合（https://www.luogu.org/problem/P1133）

这题给我的启发：当一层有后效性时，那就搞两层；两层不够就三层，三层不够.......

10.挺有意思的一个01背包（https://www.luogu.org/problem/P1417）

强烈建议刷过普通01背包的刷一下这题，长下见识。

我不知道以后我遇到dp题还能不能想的出来怎么写，但是这段刷dp的经历令我难忘。

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