NOIP1998提高组 题解报告

T1 进制位

题目大意：自己看吧

首先让我们来看两个引理：

• 如果有解，则进制一定为\(n - 1\)
• 如果有解，则字母一定表示\(0\) 至 \(n - 1\) 的数

证明如下：

因为有 \(n - 1\) 个不同的数，所以最少 \(n - 1\) 进制。

假设为 \(n\) 进制，那么一定有一个数没有出现，假设为 \(k\)。

1. 若\(k = 0\) 或 \(k = 1\)，有 \(1 + (n - 1) = 10\)（\(n\)进制下） ，矛盾。

2. \(1 < k \le n-1\) ，有\(1 + (k - 1) = k\) ，矛盾。

其它 $ > n - 1$ 进制的情况同理，所以一定是 \(n - 1\) 进制，结论 \(1\) 得证。

结论 \(1\) 成立 ，则结论 \(2\) 显然。

有了以上两个结论，这道题就好做多了。

数据范围才为 \(n \le 9\) ，直接枚举每种全排列，对每一种进行判断是否满足加法表就行了。

\(Code：\)

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,a[9],c[366666][9],tot,num[233],vis[233];
char cnm[9];
char ch[9][9][233];
inline int my_pow(int a,int b)
{
    int cnm=1;
    for(;b;b>>=1)
    {
        if(b&1) cnm=cnm*a;
        a=a*a;
    }
    return cnm;
}
inline bool calc(int jz,int a,int b)
{
    int A=num[(int)cnm[a]],B=num[(int)cnm[b]],C=0;
    int siz=ch[a+1][b+1][0];
    for(int i=1;i<=siz;++i)
        C+=num[(int)ch[a+1][b+1][i]]*my_pow(jz,siz-i);
    if(A+B<jz)
    {
        if(A+B==C) return true;
        return false;
    }
    else
    {
        int temp=A+B;
        B=temp%jz,A=temp/jz;
        B+=A*jz;
        if(B==C) return true;
        return false;
    }
}
inline void dfs(int k)
{
    if(k==n-1)
    {
        ++tot;
        for(int i=0;i<n-1;++i) c[tot][i]=a[i];
        return;
    }
    for(int i=0;i<n-1;++i)
    {
        if(!vis[i])
        {
            vis[i]=1;
            a[k]=i,dfs(k+1);
            vis[i]=0;
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    getchar();//小心换行
    for(int i=0;i<n;++i)
    {
        for(int j=0;j<n;++j)
        {
            scanf("%s",ch[i][j]+1);
            ch[i][j][0]=strlen(ch[i][j]+1);
        }
    }
    for(int i=1;i<n;++i) cnm[i-1]=ch[0][i][1];
    dfs(0);
    for(int i=1;i<=tot;++i)
    {
        int sum=0;
        for(int j=0;j<n-1;++j) num[(int)cnm[j]]=c[i][j];
        for(int j=0;j<n-1;++j)
        {
            for(int k=0;k<n-1;++k)
            {
                if(calc(n-1,j,k)) ++sum;
            }
        }
        if(sum==(n-1)*(n-1))
        {
            for(int j=0;j<n-1;++j) printf("%c=%d ",cnm[j],c[i][j]);
            puts("");
            printf("%d\n",n-1);return 0;
        }
    }
    puts("ERROR!");
    return 0;
}

T2 拼数

题目大意：给你\(n\)个正整数，让你把它们重新排列，使得排列后形成的数最大。

水题，直接\(STL\)切掉

\(Code：\)

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<iostream>
using namespace std;
int n;
string s[23];
inline bool cmp(string a,string b) {return a+b>b+a;}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i) cin>>s[i];
    sort(s+1,s+n+1,cmp);
    for(int i=1;i<=n;++i) cout<<s[i];
    return 0;
}

T3 车站

题目大意：给你列车每一站上下车人数的规律以及终点人数，求第\(x\)站人数。

水的不能再水的题，直接上代码……

\(Code：\)

#include<cstdio>
using namespace std;
int f[23],n,m,a,x;
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d",&a,&n,&m,&x);
    f[1]=1,f[2]=1;
    for(int i=3;i<=n;++i) f[i]=f[i-1]+f[i-2];
    if(x==1 || x==2) printf("%d",a);
    else if(x==3) printf("%d",2*a);
    else
    {
        int y=(m-a*(f[n-3]+1))/(f[n-2]-1);
        printf("%d",y*(f[x-1]-1)+a*(f[x-2]+1));
    }
    return 0;
}