[Luogu5686] 和积和

Description
Input
Output
Sample Input1
Sample Output1
Sample Input2
Sample Output2
Hint
题解
- OItby
- lxyzxzy
- YangChuYun
- 龙卷风

Description

给定两个下标从$1$到$n$编号的序列 $a_i,b_i$，定义函数$S(l,r)(1\le l\le r\le n)$为：

\[\sum_{i=l}^r a_i\times \sum_{i=l}^r b_i
\]

请你求出下列式子的值：

\[\sum_{l=1}^n \sum_{r=l}^n S(l,r)
\]

由于答案可能很大，你只需要给出答案模 $10^9+7$后的结果。

Input

第一行一个正整数$n$表示序列长度。

第二行$n$个正整数表示$a_i$。

第三行$n$个正整数表示$b_i$。

Output

仅一行一个整数表示答案模$10^9+7$后的结果。

Sample Input1

Sample Output1

Sample Input2

5

11 22 33 44 55

12 34 56 78 90

Sample Output2

Hint

对于$20\%$的数据：$n\le 10$ , $a_i,b_i\le 10$；

对于$40\%$的数据：$n\le 200$ , $a_i,b_i\le 100$；

对于$70\%$的数据：$n\le 3000$ , $a_i,b_i\le 10^5$；

对于$100\%$的数据：$3\le n\le 5\times 10^5$ , $1\le a_i,b_i\le 10^9$；

题解

$PS$:我们机房里的$OIer$几乎都做出来了，下面分别给出一下几个人的理解

OItby

考虑第$i$列的$a_i$与$b_i$，它可以与第$j(1\le j\le i-1)$列的到第$i$列组成一个$S(l,r)$，我们用$sa$记录前$i-1$个$a$将与$b_i$乘多少次，用$sb$记录前$i-1$个$b$将与$a_i$乘多少次，$f_i$记录$\sum_{j=1}^i S(j,i)$，答案就是$\sum_{i=1}^n f_i$

#include<iostream>

#include<cstdio>

using namespace std;

typedef long long ll;

const ll MOD=(1e+9)+7;

const int N=(5e+5)+1;

ll a[N],b[N],sa,sb,f,Ans;

void Scanf(ll &num)

{

    int n=0; char c=getchar();

    while(c<'0'||c>'9') c=getchar();

    while(c>='0'&&c<='9') n=(n<<3)+(n<<1)+(c^48),c=getchar();

    num=n;

}

int main()

{

    int n;

    scanf("%d",&n);

    for(register int i=1;i<=n;++i) Scanf(a[i]);

    for(register int i=1;i<=n;++i) Scanf(b[i]);

    for(register int i=1;i<=n;++i)

    {

        f=(f+sa*b[i]+sb*a[i]+(i*a[i])%MOD*b[i])%MOD,

        sa=(sa+i*a[i])%MOD,

        sb=(sb+i*b[i])%MOD,

        Ans=(Ans+f)%MOD;

    }

    cout<<Ans<<endl;

    return 0;

}

lxyzxzy

T2终于写出来啦！

$70~pts$前缀和

#include<iostream>

#include<cstdio>

using namespace std;

const int inf=1e9+7;

const int N=5e5+5;

int a[N],b[N];long long suma[N],sumb[N];

int main()

{

    int n;long long ans=0;

    scanf("%d",&n);

    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),suma[i]=(suma[i-1]+a[i])%inf;

    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&b[i]),sumb[i]=(sumb[i-1]+b[i])%inf;

    for(int i=1;i<=n;i++)

        for(int j=i;j<=n;j++) ans=(ans+(suma[j]-suma[i-1])*(sumb[j]-sumb[i-1]))%inf;

    cout<<ans<<endl;

    return 0;

}

$100~pts$

#include<iostream>

#include<cstdio>

using namespace std;

const int inf=1e9+7;

long long a[500005],b;

inline int read()

{

int s=0;

char ch=getchar();

while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();

while(ch>='0'&&ch<='9') s=s*10+ch-'0',ch=getchar();

return s;

}

int main()

{

    int n;long long ans=0,suma=0,sumb=0,t=0;

    n=read();

    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();

    for(int i=1;i<=n;i++)

    {

        b=read();

        t=(t+(((suma*b)%inf)+(sumb*a[i])%inf)%inf)%inf;

        t=(t+((a[i]*=i)%inf*b)%inf)%inf;

        suma=(suma+a[i])%inf;

        sumb=(sumb+i*b)%inf;

        ans=(ans+t)%inf;

    }

    cout<<ans<<endl;

    return 0;

}

YangChuYun

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int INF=1e9+7,MAX=5e+6;

typedef long long LL;

LL a[MAX],b,sum1[MAX],sum2[MAX];

LL n,ans=0;

int main()

{

    scanf("%lld",&n);

    for(int i=1;i<=n;i++)

    {

        scanf("%lld",&a[i]);

    }

    for(int i=1,j=n;i<=n;i++,j--)

    {

        scanf("%lld",&b);

        sum1[i]=sum1[i-1]+b*j;

        if(sum1[i]>15000000000000)sum1[i]%=INF;

        sum2[i]=sum2[i-1]+b*i;

        if(sum2[i]>15000000000000)sum2[i]%=INF;

    }

    for(int i=1,j=n;i<=n;i++,j--)

    {

        ans=(ans+(a[i]*((sum1[n]-sum1[i-1])*i%INF+sum2[i-1]*j%INF)))%INF;

    }

    printf("%lld",ans);

    return 0;

}

龙卷风

#include <iostream>

#include <cstdio>

using namespace std;

int Mod=1000000007;

long long ans=0,n,a[500001],b[500001];

inline int ReadIn(void)

{

    int sum = 0;

    int sign = 1;

    char ch = getchar();

    while(ch > '9' || ch < '0')

    {

        if(ch == '-')

        {

            sign = -1;

        }

        ch = getchar();

    }

    while(ch >= '0' && ch <= '9')

    {

        sum = sum*10+ch-'0';

        ch = getchar();

    }

    return sum*sign;

}

int main()

{

    n=ReadIn();

    for(int i=1;i<=n;i++)

    a[i]=ReadIn();

    long long d=0,c=0,e=0;

    for(int i=1;i<=n;i++)

    {

        b[i]=ReadIn();

        d=(d+(n-i+1)*b[i])%Mod;

    }

    for(int i=1;i<=n;i++)

    {

        ans=(ans+a[i]*((d-e)*i%Mod+c*(n-i+1)%Mod)%Mod)%Mod;

        c=(c+i*b[i])%Mod;

        e=(e+(n-i+1)*b[i])%Mod;

    }

    printf("%d",ans);

    return 0;

}