51nod 1040 欧拉函数

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1040 最大公约数之和

题目来源： rihkddd

基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 80 难度：5级算法题

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给出一个n，求1-n这n个数，同n的最大公约数的和。比如：n = 6

1,2,3,4,5,6 同6的最大公约数分别为1,2,3,2,1,6，加在一起 = 15

Input

1个数N(N <= 10^9)

Output

公约数之和

Input示例

6

Output示例

15
 
ans=SUM{gcd(x,n) | x>=1&&x<=n }
注意到gcd(x,n)一定是n的约数，我们令g(n,i)表示gcd(x,n)==i的x的个数，这样ans=SUM{i*g(n,i) | n%i==0 }
由gcd(x,n)==i ==> gcd(x/i,n/i)==1,所以转化为求满足gcd(x/i,n/i)==1的x/i的个数，显然x/i<=n/i,二者互素，答案就是phi(n/i);
只要枚举出所有的因子就好了计算phi就好了。

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstdlib>
 #include<cstring>
 using namespace std;
 #define LL long long 
 
 LL Euler(LL n)
 {
     LL i, temp = n;
     for (i = ;i*i <= n;i++)
         if (n%i == )
         {
             while (n%i == )
                 n = n / i;
             temp = temp / i*(i - );
         }
     if (n != )
         temp = temp / n*(n - );
     return temp;
 }
 
 int main()
 {
     LL n, i, sum, k;
     while (scanf("%lld",&n)!=EOF)
     {
         sum = ;
         for (i = ;i*i <= n;i++)
         {
             if (n%i == )
                 sum = sum + Euler(n / i)*i;
             k = n / i;
             if (n%k ==  && k != i)
                 sum = sum + Euler(n / k)*k;
         }
         printf("%lld\n", sum);
     }
     return ;
 }