【BZOJ3238】[AHOI2013]差异

题面

给定字符串$S$,令$T_i$表示以它从第$i$个字符开始的后缀。求

\[\sum_{1\leq i<j\leq n}len(T_i)+len(T_j)-2*lcp(T_i,T_j)
\]

其中$len(a)$表示串$a$的长度，$lcp(a,b)$表示串$a,b$的最长公共前缀

题解

把这个式子看作两边分开求：

Part1:

\[\sum_{1\leq i<j\leq n}len(T_i)+len(T_j)\\
\Leftrightarrow\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^ni+j\\
=\sum_{i=1}^{n-1}i*(n-i)+\frac{(i+1+n)*(n-i)}2
\]

其实现在你就可以$O(n)$地求了，但是因为我出(kan)于(le)美(ti)观(jie)

发现它其实可以化成这样：

\[\frac {(n-1)*n*(n+1)}2
\]

Part2:

一看到后缀当然是$sa$啦

由后缀数组的性质，排名为分别为$i,j$的后缀，$lcp_{i,j}=\min\limits_{k=i+1}^jheight_k$

我们将所有高度数组排成一排,

假设中间的第$i$个数是$l-r$中最小的

则它的贡献就是$(i-l+1)*(r-i+1)$

我们处理出来对$i$所有的$l,r$是不是就做出来了呢

这不就是一个单调栈的经典应用吗？

而这个题目中因为一些细节问题我的$l$表示小于$i$的第一个，$r$表示小于等于$i$的第一个

详见代码：

#include <iostream>

#include <cstdio>

#include <cstdlib>

#include <cstring>

#include <cmath>

#include <algorithm>

using namespace std;

inline int gi() {

	register int data = 0, w = 1;

	register char ch = 0;

	while (!isdigit(ch) && ch != '-') ch = getchar();

	if (ch == '-') w = -1, ch = getchar();

	while (isdigit(ch)) data = 10 * data + ch - '0', ch = getchar();

	return w * data;

}

const int MAX_N = 5e5 + 5;

int N; char a[MAX_N];

int sa[MAX_N], lcp[MAX_N], rnk[MAX_N];

void GetSA() {

#define cmp(i, j, k) (y[i] == y[j] && y[i + k] == y[j + k])

	static int x[MAX_N], y[MAX_N], bln[MAX_N];

	int M = 122;

	for (int i = 1; i <= N; i++) bln[x[i] = a[i]]++;

	for (int i = 1; i <= M; i++) bln[i] += bln[i - 1];

	for (int i = N; i >= 1; i--) sa[bln[x[i]]--] = i;

	for (int k = 1; k <= N; k <<= 1) {

		int p = 0;

		for (int i = 0; i <= M; i++) y[i] = 0;

		for (int i = N - k + 1; i <= N; i++) y[++p] = i;

		for (int i = 1; i <= N; i++) if (sa[i] > k) y[++p] = sa[i] - k;

		for (int i = 0; i <= M; i++) bln[i] = 0;

		for (int i = 1; i <= N; i++) bln[x[y[i]]]++;

		for (int i = 1; i <= M; i++) bln[i] += bln[i - 1];

		for (int i = N; i >= 1; i--) sa[bln[x[y[i]]]--] = y[i];

		swap(x, y); x[sa[1]] = p = 1;

		for (int i = 2; i <= N; i++) x[sa[i]] = cmp(sa[i], sa[i - 1], k) ? p : ++p;

		if (p >= N) break;

		M = p;

	}

}

void GetLcp() {

	for (int i = 1; i <= N; i++) rnk[sa[i]] = i;

	for (int i = 1, j = 0; i <= N; i++) {

		if (j) --j;

		while (a[i + j] == a[sa[rnk[i] - 1] + j]) ++j;

		lcp[rnk[i]] = j;

	}

}

typedef long long ll;

int lp[MAX_N], rp[MAX_N], stk[MAX_N], top;

int main () {

	scanf("%s", a + 1); N = strlen(a + 1);

	GetSA(); GetLcp();

	ll ans = 0;

	//for (int i = 1; i < N; i++) ans += 1ll * i * (N - i) + 1ll * (i + 1 + N) * (N - i) / 2ll;

	ans = 1ll * N * (N + 1) * (N - 1) / 2ll;

	stk[0] = 1;

	for (int i = 2; i <= N; i++) {

		while (top > 0 && lcp[stk[top]] >= lcp[i]) --top;

		lp[i] = i - stk[top], stk[++top] = i;

	}

	top = 0, stk[0] = N + 1;

	for (int i = N; i >= 2; i--) {

		while (top > 0 && lcp[stk[top]] > lcp[i]) --top;

		rp[i] = stk[top] - i, stk[++top] = i;

	}

	for (int i = 2; i <= N; i++) ans -= 2ll * lcp[i] * lp[i] * rp[i];

	printf("%lld\n", ans);

	return 0;

}