模板：快速傅里叶变换（FFT）

参考：http://blog.csdn.net/f_zyj/article/details/76037583
如果公式炸了请去我的csdn博客：http://blog.csdn.net/luyouqi233/article/details/79323568
原文即是一篇很好的FFT入门博客，但是笔者打算为了日后的学习，则将原篇章的结构删改增添一下，如有思路上的雷同十分正常。
“是时候打开FFT的大门了！”

预备知识：

1.至少知道基础数论与一定解三角形知识（大概是高中水平）。
2.定义\(i=\sqrt{-1}\)
3.引入复数（即形如\(a+bi\)（a,b均为实数）的数的集合）
4.\((cos\theta+i\times sin\theta)^k=cos(k\theta)+i\times sin(k\theta)\)
5.显然我们对多项式FFT之后得到的答案不是我们想要的，那么这时候就需要反着用FFT把式子再变回去（本文记做IFFT）。

这里证明一下第四条，用归纳法。
显然当\(k=1\)时成立。
当\(k\)成立时，我们有：
\((cos\theta+i\times sin\theta)^{k+1}\)
\(=(cos\theta+i\times sin\theta)^k\times (cos\theta+i\times sin\theta)\)
\(=(cos(k\theta)+i\times sin(k\theta))\times (cos\theta+i\times sin\theta)\)
\(=cos(k\theta)cos\theta+i\times sin(k\theta)cos\theta+i\times cos(k\theta)sin\theta+i^2\times sin(k\theta) sin\theta\)
\(=cos(k\theta)cos\theta-sin(k\theta) sin\theta+i\times (sin(k\theta)cos\theta+cos(k\theta)sin\theta)\)
\(=cos((k+1)\theta)+i\times sin((k+1)\theta)\)
得证。

问题引入：

设\(A(x)=\sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i,B(x)=\sum_{i=0}^{n-1}b_ix^i\)，求\(A(x)\times B(x)\)后的多项式系数。

初探：

显然我们有一个\(O(n^2)\)的解法，但是实在是太慢了。
考虑到一个\(n-1\)次多项式可以看做是定义在复数域上的函数，则我们一定可以找到n个点来唯一确定这个函数。
当然我们也可以通过这些点来表示这个多项式。
假设：
\(A(x)\)被表示为：\(<(x_0,y_{a_0}),(x_1,y_{a_1}),\ldots,(x_{2n-2},y_{a_{2n-2}})>\)
\(B(x)\)被表示为：\(<(x_0,y_{b_0}),(x_1,y_{b_1}),\ldots,(x_{2n-2},y_{b_{2n-2}})>\)
显然\(A(x)\times B(x)\)被表示为：\(<(x_0,y_{a_0}y_{b_0}),(x_1,y_{a_1}y_{b_1}),\ldots,(x_{2n-2},y_{a_{2n-2}}y_{b_{2n-2}})>\)

这里多取了点的原因在于\(A(x)\times B(x)\)是一个\(2n-2\)次多项式，则至少要取\(2n-1\)个点才能保证正确。

但是显然还是\(O(n^2)\)的。

再试：

考虑设\(A(x_i)=A_0(x_i^2)+x_iA_1(x_i^2)\)，其中:
\(A_0(x)=a_0+a_2x+a_4x^2+\ldots+a_{n-2}x^{\frac{n}{2}+1}\)
\(A_1(x)=a_1+a_3x+a_5x^2+\ldots+a_{n-1}x^{\frac{n}{2}+1}\)

其实就是按照系数下标的奇偶性分类了一下。

此时我们再令取点的\(x\)值为\(<x_0,x_1,\ldots,x_{\frac{n}{2}-1},-x_0,-x_1,\ldots,-x_{\frac{n}{2}-1}>\)
我们发现把\(x\)平方后我们的取值瞬间缩小了一半，而原式唯一变化的就是\(A_1(x)\)前的符号。
看起来我们似乎找到了\(O(nlogn)\)的可行方案。
但是很可惜，这样优秀的\(x\)取值的性质只会保留一次，也就是说我们只是得到了一个\(O(\frac{n^2}{2})\)。
如何才能每次将问题的规模缩小一半是我们的目标。

插曲：

有个人告诉你：不如试试\(X_n=cos\frac{2\pi}{n}+i\times sin\frac{2\pi}{n}\) 的 \(0\ldots n-1\)次方作为\(x\)的取值。

这块大家一直有个疑惑：这是怎么构造出来的啊？
事实上傅里叶变换最早是应用于信号处理上的，傅里叶提出：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。
多项式可以看做非连续周期信号，然后通过各种奇妙的姿势让它逼近正弦曲线的组合形，详情可以看松松松WC2018的课件。
“逼近”显然用到了微积分，不适合初学者，所以就直接跳过了。（其实我也不会……）
（再多说一点吧，其实上面和下面的数学推理完全可以从物理层面理解，还是可以参考松松松WC2018的课件）

继续：

那么令取点的\(x\)值为\(<X_n^0,X_n^1,\ldots,X_n^{n-1}>\)
我们可知：
\((X_n^{k})^2\)

\(=X_n^{2k}\)

\(=cos\frac{2k\times 2\pi}{n}+i\times sin\frac{2k\times 2\pi}{n}\)

\(=cos\frac{2k\pi}{\frac{n}{2}}+i\times sin\frac{2k\pi}{\frac{n}{2}}\)

\(=X_{\frac{n}{2}}^k\)

---

\(X_n^{k}\)

\(=cos\frac{k\times 2\pi}{n}+i\times sin\frac{k\times 2\pi}{n}\)

根据三角函数的周期性可知，\(k\)对\(n\)取模显然不会对答案造成影响。
于是我们有\(X_n^{k}=X_n^{k\%n}\)

那么显然对于\(<(X_n^0)^2,(X_n^1)^2,\ldots,(X_n^{n-1})^2>\)

它等效于\(<X_{\frac{n}{2}}^0,X_{\frac{n}{2}}^1,\ldots,X_{\frac{n}{2}}^{\frac{n}{2}-1},X_{\frac{n}{2}}^0,X_{\frac{n}{2}}^1,\ldots,X_{\frac{n}{2}}^{\frac{n}{2}-1}>\)

我们好像看到了\(O(nlogn)\)的曙光了。

尾声：

显然我们可以对\(x\)的取值折半，然后对于左右区间的\(x\)值递归下去即可。
Q1：诶等等，“再试”里面的内容好像没有应用上啊……

A1：那就转化一下，其实我们只需要求一个区间的\(A_0(x)\)和\(A_1(x)\)值递归下去求\(A(x)\)即可。
也就是说其实我们是得到了：
\(<(A_0)_0,(A_0)_1,\ldots,(A_0)_{\frac{n}{2}-1},(A_1)_0,(A_1)_1,\ldots,(A_1)_{\frac{n}{2}-1}>\)

Q2：这好像是画蛇添足……

A2：emmm……我说这个可以用于常数优化你信吗……
显然\(A(X_n^k)=(A_0)_{k\%\frac{n}{2}}+X_n^k(A_1)_{k\%\frac{n}{2}}\)

取模是因为，不要忘了我们的取值是由两个一样的左右区间合并在一起的。

那么我们得到了\(<A_0,A_1,\ldots,A_{n-1}>\)

（其中\(A_k=A(X_n^k)\)）

我们好像把这个序列的长度减少了一半诶！那自然是快了二倍啊。

不要忘了n要满足始终是2的倍数，所以n要取2的整数次幂，同时将没用的次幂的系数填成0。

Q3：IFFT怎么做啊？

A3：继续看下去……？

补遗：

略讲一下IFFT。
显然我们可以把FFT的最初算法（也就是DFT）看做两个矩阵相乘。

两个矩阵分别一个填\((X_n^k)^m\)，一个填系数，可以上参考处原博客看矩阵。

那么我们把第一个矩阵变成逆矩阵岂不是为IFFT？
其实就是这样，并且事实上就是填\(((X_n^{-k})^m)/n\)，具体证明过程看参考处原博客。
剩下的做法就和FFT一样啦。

谢幕：

事实上我上述讲的内容其实没有多少用（滑稽。
因为你理解半天也不如不理解知道怎么用然后默写下来。
但是理解了更好背啊。

例题：

模板：
HDU1402：A * B Problem Plus：http://www.cnblogs.com/luyouqi233/p/8448969.html

应用：
BZOJ3527：[ZJOI2014]力：http://www.cnblogs.com/luyouqi233/p/8452117.html

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