线性代数期末大总结I
行列式
n阶行列式的计算:
\]
其中t
为排列\(p_1p_2p_3 \cdots p_n\)的逆序数,由于这样的排列共有\(n!\)个,所以n阶行列式共有\(n!\)项。
行列式的性质:
行列式与他的转置行列式相等
对换行列式的两行/列,行列式变号
可推出:如果行列式有两行/列完全相等,则行列式等于0
行列式的某一行/列中多有元素乘以k,等于k乘以此行列式
行列式中如果有两行/列元素成比例,则此行列式等于0
把行列式的某一行/列元素同乘以某数k,再加到另一行/列对应元素上,行列式不变
如下:
\[若D=\left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{i1}+a_{i1}^, & a_{i2}+a_{i2}^, & \cdots & a_{in}+a_{in}^, \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{matrix}\right|
\]
\]
行列式等于它的任一行/列各个元素与其对应得代数余子式乘积得和。
矩阵的运算
矩阵的一般运算
矩阵加法:两同型矩阵对应元素相加。
数与矩阵相乘:等于该矩阵所有元素同乘该数。
矩阵与矩阵相乘:如\(AB\)结果的第i行j列元素为A的i行与B的j列对应元素相乘再相加。
矩阵的转置:
\[(A^T)^T=A\\
(A+B)^T=A^T+B^T\\
(\lambda A)^T=\lambda A^T\\
(AB)^T=B^TA^T
\]方阵的行列式:
|\lambda A|=\lambda^n|A|\\
|AB|=|A||B|
\]
伴随矩阵:
其中\(A_{ij}\)为\(|A|\)的代数余子式
\left[
\begin{matrix}
A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\
A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \\
\end{matrix}
\right] \\
可得:AA^*=A^*A=|A|E
\]
逆矩阵
定义:对于n阶矩阵A,如果有一个n阶矩阵B使得\(AB=BA=E\),那么称A可逆,B为A的逆矩阵。
若A可逆,则\(|A| \neq 0\)
若\(|A| \neq 0\),则:
\[A^{-1}=\frac{A^*}{|A|}
\]
当\(|A|=0\)时,A称为奇异矩阵,否则称为非奇异矩阵。由以上两定理可知:
A是可逆矩阵的充分必要条件是\(|A| \neq 0\),即可逆矩阵就是非奇异矩阵。
逆矩阵满足下述运算规律:
(\lambda A)^{-1}=\frac{A^{-1}}{\lambda} \\
(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}
\]
逆矩阵的初步运用
设\(\varphi (A)=a_0E + a_1A + \cdots + a_mA^m\)为矩阵A的m次多项式。
如果\(A=P\Lambda P^{-1}\),则\(A^k = P\Lambda^kP^{-1}\),从而:
\[\begin{align}
\varphi(A)
& = a_0E + a_1A + \cdots + a_mA^m \\
& = Pa_0EP^{-1} + Pa_1\Lambda P^{-1} + \cdots + Pa_m\Lambda^m P^{-1} \\
& = P(a_0E + a_1\Lambda + \cdots + a_m\Lambda^m)P^{-1} \\
& = P \varphi(\Lambda)P^{-1}
\end{align}
\]如果\(\Lambda = diag(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)\)为对角矩阵,则\(\Lambda^k = diag(\lambda_1^k,\lambda_2^k,\cdots,\lambda_n^k)\),从而:
\[\begin{align}\varphi(\Lambda)& = a_0E + a_1A + \cdots + a_mA^m\\& = \left[\begin{matrix} \varphi(\lambda_1) \\ &\varphi(\lambda_2)\\ &&\ddots\\ &&&\varphi(\lambda_n)\end{matrix}\right]\end{align}
\]
克拉默法则
- 如果线性方程的系数矩阵A的行列式不等于零,则方程组有唯一解:
\[x_n = \frac{|A_n|}{|A|}
\]
分块矩阵
- 转置:
\]
- 分块对角矩阵:\(A_i\)是方阵,则如下A分块矩阵为分块对角矩阵
\]
分块对角矩阵有如下性质:
\]
矩阵的初等变换与线性方程组
矩阵的初等变换
如果矩阵A经过有限次初等行变换变成矩阵B,则称矩阵A与B行等价。
如果矩阵A经过有限次初等列变换变成矩阵B,则称矩阵A与B列等价。
如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,则称矩阵A与B等价。
由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵,初等矩阵可逆,有限个可逆矩阵乘积仍然可逆。
行阶梯形矩阵:非零行在零行上面,非零行的首非零元素所在列在上一行的首非零元素所在列的右面。
行最简形矩阵:非零行的首非零元为1,首非零元所在的列的其余元均为0。
方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵\(P_1P_2\cdots P_l\)使得\(A=P_1P_2\cdots P_l\)。
可推出:方阵A可逆的充要条件是A与E行等价。
矩阵的秩
K阶子式与秩:在m行n列的矩阵A中,任取k行k列,位于这些行列交叉处的元素,不改变相对位置而得到的K阶行列式,称为A的k阶子式。A的最高阶子式设为r阶子式,那么r就为A的秩 ,记作R(A)=r
。
如果A行等价B,则A与B中非零子式的最高阶数相等。
\(R(A)=R(A^T)\)。
可逆矩阵又称满秩矩阵,不可逆矩阵又称为降秩矩阵。
初等变换作为一种运算,其深刻意义在于不改变矩阵的秩。
性质(不完全):
- \(R(A+B) \leq R(A)+R(B)\)
- \(R(AB) \leq min\{R(A), R(B)\}\)
- 若\(A_{m,n}B_{n,l}=O\),则\(R(A) + R(B) \leq n\)
- 若\(AB=O\)且A为满秩矩阵,则\(B=O\)。
线性方程组的解
n元线性方程组\(Ax=b\) 。
- 无解充要条件是\(R(A)<R(A,b)\)。
- 唯一解充要条件\(R(A)=R(A,b)=n\)。
- 无穷解充要条件\(R(A)=R(A,b)<n\)
- \(Ax=0\)有非零解的充要条件是\(R(A)<n\)。
- 矩阵方程\(AX=B\)有解的充要条件是\(R(A)=R(A,B)\)。
- 设\(AB=C\),则\(R(C)\leq min\{R(A), R(B)\}\)
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