CF1073G Yet Another LCP Problem

题目传送门。

题意简述：给出 \(s\)，多次询问给出长度分别为 \(k,l\) 的序列 \(a,b\)，求 \(\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^l\mathrm{LCP}(s[a_i:n],s[b_j:n])\)。

Yet Another 套路题。

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如果你做过 P4248 [AHOI2013]差异 应该可以很快秒掉这题。

我们先对 \(s\) 进行后缀排序，求出 height 数组，并将 \(a_i,b_i\) 替换为 \(rk_{a_i},rk_{b_i}\)，那么题目就变为 \(\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^l\min_{k=\min(a_i,b_i)+1}^{\max(a_i,b_i)}ht_k\)。

预处理出 \(ht\) 的 ST 表以 \(\mathcal{O}(1)\) RMQ。然后使用类似上面那题的套路，单调栈求出答案。

具体地，我们要从小到大考虑 \(a,b\) 中的每一个位置 \(pos\)（注意这里的位置指的是排名，因为前面用 \(rk_a,rk_b\) 替换了 \(a,b\)），求出在它前面的所有位置 \(p_i\ (p_i\leq pos)\)（注意这里可能取到等于号，因为 \(a,b\) 中可能有相同的位置）中，与它类型不同的（即若 \(pos\) 是 \(b\) 中的位置，则 \(p_i\) 应该是 \(a\) 中的）所有位置 \(+1\) 后与它的区间 \(ht\) 最小值之和：对 \(a,b\) 分别维护一个单调栈 \(A,B\)。先用 \(val=\min_{i=pre+1}^{pos} ht_i\) 更新两个单调栈 \(A,B\)（\(pre\) 是上一次考虑的 \(pos\)），如果 \(pre=pos\) 则用 \(val=n-sa_{pos}+1\) 更新，需要注意的是这里的更新不是将一个数压入单调栈 \(A\) 或 \(B\)，因为这个数是不算贡献的（如果算贡献，会导致计算了同属于 \(a\) 或同属于 \(b\) 的两个位置之间的重复贡献），相当于我们压入了一个宽为 \(0\)，高为 \(val\) 的矩形；然后，若当前位置属于 \(a\)，则计算单调栈 \(B\) 中的 “矩形面积和”，否则计算 \(A\) 中的矩形面积和；最后，若当前位置属于 \(a\)，将 \(n-sa_{pos}+1\) 压入单调栈 \(A\)，否则将其压入 \(B\)，相当于我们压入了一个宽为 \(1\)，高为 \(n-sa_{pos}+1\) 的矩形。所有计算出的 “矩形面积和” 之和即为答案。

时间复杂度 \(\mathcal{O}(n\log n+\sum k\log\sum k+\sum l\log \sum l)\)（后面的 \(\log\) 是排序所需的 \(\log\)）。

CF1073G 代码

/*
	Powered by C++11.
	Author : Alex_Wei.
*/

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define ll long long

const int N=2e5+5;
const int K=18;

struct MonotoneStack{
	ll stc[N],l[N],top,sum;
	void modify(int val){
		int len=0;
		while(top&&stc[top]>=val)sum-=stc[top]*l[top],len+=l[top--];
		sum+=len*val,stc[++top]=val,l[top]=len;
	} void push(int val){
		stc[++top]=val,l[top]=1,sum+=val;
	}
}ta,tb;

int n,q,k,l,a[N],b[N];
ll sta[N],stb[N];
char s[N];
struct SA{
	int sa[N],rk[N<<1],ork[N<<1],ht[N];
	int buc[N],id[N],px[N],mi[N][K];
	bool cmp(int a,int b,int w){
		return ork[a]==ork[b]&&ork[a+w]==ork[b+w];
	} void build(){
		int m=1<<7,p=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)buc[rk[i]=s[i]]++;
		for(int i=1;i<=m;i++)buc[i]+=buc[i-1];
		for(int i=n;i;i--)sa[buc[rk[i]]--]=i;
		for(int w=1;w<=n;w<<=1,m=p,p=0){
			for(int i=n;i>n-w;i--)id[++p]=i;
			for(int i=1;i<=n;i++)if(sa[i]>w)id[++p]=sa[i]-w;
			for(int i=0;i<=m;i++)buc[i]=0;
			for(int i=1;i<=n;i++)buc[px[i]=rk[id[i]]]++;
			for(int i=1;i<=m;i++)buc[i]+=buc[i-1];
			for(int i=n;i;i--)sa[buc[px[i]]--]=id[i];
			for(int i=1;i<=n;i++)ork[i]=rk[i]; p=0;
			for(int i=1;i<=n;i++)rk[sa[i]]=cmp(sa[i],sa[i-1],w)?p:++p;
		} for(int i=1,k=0;i<=n;i++){
			if(k)k--;
			while(s[i+k]==s[sa[rk[i]-1]+k])k++;
			ht[rk[i]]=k;
		} for(int j=0;j<K;j++)
			for(int i=1;i<=n;i++)
				if(j)mi[i][j]=min(mi[i][j-1],mi[i+(1<<j-1)][j-1]);
				else mi[i][j]=ht[i];
	} int query(int l,int r){
		if(l>r)swap(l,r);
		if(l==r)return n-sa[l]+1;
		if(l+1==r)return ht[r];
		int d=log2(r-(l++));
		return min(mi[l][d],mi[r-(1<<d)+1][d]);
	} ll run(ll k,ll l){
		for(int i=1;i<=k;i++)a[i]=rk[a[i]];
		for(int i=1;i<=l;i++)b[i]=rk[b[i]];
		sort(a+1,a+k+1),sort(b+1,b+l+1);
		ll lp=1,rp=1,ans=0,pre=0;
		while(lp<=k||rp<=l){
			int tp,pos;
			if(lp>k||rp<=l&&b[rp]<a[lp])tp=2,pos=b[rp++];
			else tp=1,pos=a[lp++];
			int val=query(pre,pos);
			ta.modify(val),tb.modify(val);
			if(tp==1)ans+=tb.sum,ta.push(n-sa[pos]+1);
			else ans+=ta.sum,tb.push(n-sa[pos]+1);
			pre=pos;
		} return ans;
	}
}sa;

int main(){
	scanf("%d%d%s",&n,&q,s+1),sa.build();
	while(q--){
		scanf("%d%d",&k,&l);
		for(int i=1;i<=k;i++)scanf("%d",&a[i]);
		for(int i=1;i<=l;i++)scanf("%d",&b[i]);
		cout<<sa.run(k,l)<<endl;
		ta.top=tb.top=ta.sum=tb.sum=0;
	}
	return 0;
}